最全《平行四邊形、矩形菱形、正方形》計算類典型題彙總

一、平行四邊形中，邊(周長)的計算

例1：在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC＝10，BD＝8，則AD的取值範圍是_________．

解析：利用平行四邊形的性質，對角線互相平分，得AO＝5，DO＝4．借助三角形三邊關系，AO－DO＜AD＜AO＋DO，則1＜AD＜9

變式：

1.已知平行四邊形ABCD的周長是12，AC，BD交于點O，△ABO的周長比△BOC的周長大1，求AB，BC的長．

解析：對照上圖，我們知道AO＝CO，BO為公共邊，則△ABO的周長與△BOC的周長之差就是AB與BC之差，設AB＝x，BC＝x－1，根據周長＝12，可得2(x＋x－1)＝12，x＝3.5，AB＝3.5，BC＝2.5

例2：如圖，平行四邊形ABCD的周長為16，AC，BD相交于點O，OE⊥AC于O，則△BCE的周長為_________．

解析：由OE⊥BD，BO＝DO，可知OE垂直平分BD，則BE＝DE，C△BCE＝BC＋CE＋BE＝ BC＋CE＋DE＝BC＋CD＝8

變式：如圖，EF過平行四邊形ABCD對角線的交點O，分别交AD于E，交BC于點F，若OE＝5，四邊形CDEF的周長為25，則平行四邊形ABCD的周長為________．

解析：首先，可證△AEO≌△CFO，則OE＝OF．

(事實上，經過平行四邊形對稱中心的線段，既平分平行四邊形的周長，也平分面積．)

EF＝2OE＝10，AE＝CF，C四邊形CDEF＝CD＋DE＋CF＋EF＝CD＋DE＋AE＋EF＝CD＋DA＋EF＝25

CD＋DA＝15，C平行四邊形ABCD＝30

例3：在平行四邊形ABCD中，AD＝11，∠A、∠D的角平分線分别交BC于E、F，EF＝3，則AB＝__________．

解析：

本題是典型的易錯題，極易漏解，我們應該想到，AE，DF必然相交，且夾角為90°，但交點可以在平行四邊形内，也可在形外．故而要分類讨論．

同時，這裡面隐藏着一個常見的基本模型，平行＋角平分，構造等腰，△ABE和△FCD是等腰三角形，且腰相同，AB＝BE＝DC＝CF．

如圖，當AE，DF交于形内，BE＋CF－EF＝11，2BE－3＝11，BE＝7，AB＝7

如圖，當AE，DF交于形外，BE＋CF＋EF＝11，2BE＋3＝11，BE＝4，AB＝4

綜上，AB＝7或4

變式：

1.平行四邊形ABCD的周長為32， ∠ABC的角平分線交邊AD所在直線于點E，且AE：ED＝3：2，則AB＝______．

解析：看到"所在直線" 這樣的字眼，第一時間應該想到兩解了吧．

如圖，AD＜AB，則E在AD延長線上，AE＝AB，

∵AE：ED＝3：2，

∴AE：AD＝3：1，AB：AD＝3：1，

設AD＝x，AB＝3x，3x＋x＝16，

x＝4，AB＝3x＝12．

如圖，AD＞AB，則E在AD上，AE＝AB，

∵AE：ED＝3：2，

∴AE：AD＝3：5，AB：AD＝3：5，

設AB＝3x，AD＝5x，3x＋5x＝16，

x＝2，AB＝3x＝6．

綜上，AB＝6或12.

二、平行四邊形面積類問題

例1：平行四邊形ABCD中， DE⊥AB，DF⊥BC，若DE＝2，DF＝3，四邊形ABCD的周長是30，求其面積．

解析：本題其實早在小學階段，可能就有同學做過，知道平行四邊形周長，則知道了鄰邊之和為其一半，有了2條高，自然想到面積，用等積法解決．

如圖，設AB＝x，BC＝15－x，

2x＝3(15－x)，x＝9，S＝2x＝18

例2：如圖，M、N是平行四邊形ABCD的邊AB、AD的中點， 連接MN、MC，若陰影四邊形的面積為10，則圖中空白部分的面積是____________．

解析：面對一般四邊形的面積問題，我們通常轉化為熟悉的平行四邊形求面積，或者将四邊形分割成2個小三角形，分别求面積，再求和．

本題顯然不能轉化，嘗試分割，若連接NC，則△NMC的面積不好求，所以連接MD．

例3：

解析：初次拿到這樣的題目，很難下手，沒有具體的底邊和高長，我們求不出各圖形的面積，但既然平行四邊形對邊平行，我們不妨過點P再作一次平行．

如圖，過點P作EF∥AD，則EF∥BC，四邊形AEFD，四邊形EBCF均為平行四邊形．

本題重要結論：S1＋S3＝S2＋S4

三、矩形正方形線段和的計算、菱形中面積，最值類問題

例1：在矩形ABCD中，AB＝3， BC＝4，對角線AC，BD交于點O，點P是BC邊上的一點，PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．

解析：拿到題目，有些同學立刻反應，說是"将軍飲馬"問題，但這裡是求值，是定值，而将軍飲馬屬于求最值問題．PE，PF分别是高，則想到面積，這才應該是第一反應．

如圖，連接OP

變式：

1.如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，對角線長為10，P是BC邊上的一點， PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．

解析：

本題同樣也能用上題思路，

PE＋PF＝BO＝5，

也能證明四邊形EPFO是矩形，

PF＝EO，∠EBP＝∠EPB＝45°，

則BE＝PE，

PE＋PF＝BE＋EO＝BO＝5

例2：已知菱形ABCD的周長為20，面積為20，求對角線AC，BD的長．

解析：由周長為20，我們可以知道，邊長是5，由面積是20，我們可以知道對角線乘積的一半是20，因此，不妨設AC＝2x，BD＝2y，x＞y，

例3：如圖，菱形ABCD的兩條對角線分别長6和8，點P是AC上的一個動點，點M、N分别是邊AB、BC的中點，則PM＋PN的最小值是________．

解析：這才是标準的将軍飲馬問題，作點M關于AC的對稱點M'，則PM＋PN＝P M'＋PN≥M'N(當M'，P，N三點共線時可取等号)，則最小值即為M'N＝5

變式：

1.如圖，菱形ABCD的兩條對角線分别長6和8，點P、N是AC，BC上的一個動點，點M是邊AB的中點，則PM＋PN的最小值是________．

解析：變成了一定(點M)一動問題(點N)，方法與之前一緻，确定AD邊上的點M'，則當M'N⊥BC時，M'N最短，過點M'作M'Q⊥BC，利用面積法，S菱形ABCD＝24，BC＝5，M'Q＝4.8，PM＋PN的最小值是4.8

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