數學基礎思想的第三大派系?作者｜徐利治來源 | 《數學通報》，2000年第5期，今天小編就來說說關于數學基礎思想的第三大派系?下面更多詳細答案一起來看看吧!

數學基礎思想的第三大派系

作者｜徐利治

來源 | 《數學通報》，2000年第5期

我出生在長江之濱，很喜歡蘇轼的詩句：“哀吾生之須臾,羨長江之無窮。”看來這詩句隐含有勸人珍惜年華、努力向上之意。

我們知道，在正常情況下，一般從事數學職業者在人世間還算是比較長壽的。例如從數學史書上可以看到，19世紀至20世紀的衆多數學家的平均壽命都在“古稀年齡”之上。迄至2000年，我也将有55年的數學教學工齡了。所以這篇談話，真可說是“老生漫談”了。

積半個世紀的數學教學與科研工作經曆，我的個人經驗可概括為五句話：一是培養興趣，二是追求簡易，三是重視直觀，四是學會抽象，五是不怕計算。

最後要說的是，數十年來，使我真正體驗到了兩條客觀規律，即“興趣與能力的同步發展規律”和“教、學、研互相促進的規律”。我認為這些規律理應成為現代認知心理學和科學方法論中值得探讨的規律。

下面就讓我來談談個人的一些經驗與體會。

1、培養興趣

我把培養興趣置于首要地位，因為衆所周知，興趣有助于集中注意、活躍思想，并能助長克服困難的勇氣和毅力。要想有成效地學習和研究數學，尤其非要有興趣不可。

記得我上初級小學時，對算術一點興趣也沒有，速算測試成績也較差。到了高小階段，有一陣忽然對“雞兔同籠”等問題産生了好奇心。有一天我伯父把聽來的一個“怪題”拿來考我：“100個和尚分100個饅頭，大和尚1人分3個，小和尚3人分1個。問有多少個大和尚和小和尚?”我利用學到了的雞兔同籠問題的推理方式，居然得出了有25個大和尚與75個小和尚的正确答案，伯父很是贊許。自此以後，我就特别喜歡求解算術應用題，開始學到了用算式表達事物間簡單數量關系的能力。這種能力其實也可以看作是最低層次的“數學建模能力”。

後來我讀了師範學校，買到一本陳文翻譯的《查理斯密大代數學》；對書中的級數與連分式、排列與組合、或然率論、初等數論和方程式論最感興趣。還作了一些難題和怪題，很覺高興而自豪。與此同時我還津津有味地讀了一本引人入勝的《算學的故事》(章克标著，開明書局出版)。就這樣，我就開始熱愛起數學來了。但當年絲毫也不敢設想成年後能靠搞數學來吃飯。直到後來有機會進了西南聯合大學，才把爾後搞數學職業選擇成為自己的人生道路。

上述的個人經曆，使我明确地認識到，興趣和才能是互相促進的。而興趣的培養和發展，其最有效的途徑就是要多讀一些富于啟發性的數學史書和數學家故事，還要經常保持做些有趣題目的習慣。我認為成功的數學教師，應該經常能向他或她的學生們講講數學家的有趣故事，還要能做到像喬治·波利亞(G. Polya)所主張的，“好的數學教師要保持做題的好胃口。”

我想，時至今日誰也不會主張在小學和中學裡多搞些難題和怪題，特别不應把難題怪題用作考試題目。但是為了激發青少年的好奇心和興趣，也為了幫助他們增長智慧和才能，在教學中有選擇地采用少量有趣怪題(例如著名的“雞兔同籠”問題等)也是未嘗不可的。

2、追求簡易

1948年我在清華大學做助教時期，有一次聽完陳省身先生的講演後，記得他曾向我們幾位青年教師介紹了歐洲一位數學大師的一句名言：“數學以簡易性為目标” (Mathematics is for simplicity)。當年我對這句名言體會不深，主要是對“簡易”這個詞的真實涵義理解不透。

那時候我講授初等微積分課程，逐漸領悟到作為微積分核心基石的“微積分基本定理”——牛頓--萊布尼茲公式——在原理上是十分簡明的，在方法上又是易于操作的。這樣既簡明又易于操作的公式，不正是表明“簡易性”的特征嗎?

後來我又讀了一些有關“微積分發明史”的資料，得知17世紀60年代前，人們為了處理各種各樣的無窮小量求和問題，曾走過了漫長而艱辛的道路。而牛頓--萊布尼茲公式的提出，才把許多複雜艱難問題的求解過程，統一于一條簡易的基本定理。這也說明，微積分的創立正是以“簡易性”目标的實現為标志。

有位朋友告訴我，中國古代的《易經》上已對”簡易”一詞作了很好的解釋：“簡則易知，易則易從”。意思是說，簡單的原理易于明白，容易操作的東西便于應用。事實上，數學上許多有價值的理論和方法以及重要的定理與公式，基本上都是具有簡易性的科學成果，而簡易性或者簡單性也是數學美的特征。

在我長期的數學工作實踐中，我總是不忘記對簡易性成果的追求。一般說來，我感興趣的問題，我總是希望努力把它簡化到不能再簡單的程度。然後對簡化了的問題再努力尋找其簡易解答。這些努力未必總是成功。如果失敗了，則憑着我對問題的濃厚興趣，我還将另覓小路，繼續前進。在我指導青年學生作科學研究時，我也總是強調，首先要學會化難為易、化繁為簡的本事，當他們取得了簡易性的數學結果，如果真是優美而有用，我就會以“漂亮成果”一詞作為贊許。

對待數學教學，包括編教材和講課，我也一貫喜歡以追求“簡易”為目标。這一點，多半是受了我大學時代老師華羅庚先生的影響。記得在我大學中業後擔任華先生助教時期，他曾告訴我下述觀點：“高水平的教師就能把複雜的東西講簡單，把難的東西講容易。反之，如果把簡單的東西講複雜了，把容易的東西講難了，那就是低水平的表現。”有時候，我也曾聽說過有些數學教師為了在學生面前賣弄學問，故意把容易的東西講難了，把簡單的東西講複雜了。

上述華羅庚先生的教學法觀點實際是和喬治·波利亞的數學思想不約而同的。我個人認為，今後全國大、中、小數學教學的改革事項中，無論是教材内容改革或教學方法改革，應和數學發展的總的目标要求相一緻，即必須以“追求簡易”為目标。

3、重視直觀

無論是從事數學教學或研究，我是喜歡直觀的。學習一條數學定理及其證明，隻有當我能把定理的直觀含義和證法的直觀思路弄明白了，我才認為真正懂了。例如，當年我以好奇的心情學習維爾斯特拉斯(Weierstrass)著名的連續而處處不可微的函數時，經過一陣耐心的精微的思考之後，我才真正弄明白了函數結構設計的直觀背景和證法的基本思路。由此類似思路，不難構造出任意多的具有不同形式的連續不可微函數例子。

在科學研究中，我也常常借助于由經驗獲得的直觀能力。以猜測的方式去探索某些可能取得的成果。當然，失敗的經驗也是很多的。這裡我樂于談一個我取得成功的例子。

1964年我吉林大學任教期間，一度對超越方程求實根問題發生了興趣。研究目标是希望能找到無估算初值的“整體收斂疊代法”。我們知道，求解高次代數方程的實根已有這種性能的疊代法，即著名的拉蓋耳(Laguerre)疊代過程。

我聯想到歐拉(Euler)在尋求著名的級數和

時，曾經把正弦函數的幂級數展開式大膽地看成為無限次多項式，從而通過類比法得到了正弦函數的因式分解的無窮乘積公式。最後他把乘積展開後與幂級數二次幂比較系數，便成功地解決雅谷·柏努利(Bernuoulli)的級數求和難題。即求得了級數 之和。

歐拉的思想方法給我的重要啟示是，一定條件下，幂級數可以看作是次數為無窮大的代數多項式。這使我聯想到拉蓋耳疊代公式中的參數n(即所論代數方程的次數)應能令它趨向于∞而獲得适用于超越方程的疊代方法。再由觀察立即看出 n→∞ 時拉氏公式仍繼續保持合理意義，而且形式更簡化了。這樣，我便猜到了一個可以用來求解超越方程的大範圍收斂疊代法。最後，應用整函數論裡的阿達瑪(Hadamard)因式定理，果然證明了上述方法的大範圍收斂性。(此項結果發表于1973年美國數學會通訊摘要欄)。

上述研究給予我的深刻印象是，由類比聯想引發的直觀與猜想有時真能成為發現新成果的源泉。因此，在以往20多年裡我始終熱心地提倡數學工作者和數學教師們，值得花足夠的時間去研讀喬治·波利亞的兩本名著，即《數學與猜想》與《數學的發現》。

一般英文辭典中，常把intuition譯作直覺、直觀，足見直觀與直覺兩詞的涵義會有不少相通或相同之處。但在數學中，我甯願把“直觀”一詞解釋為借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所産生的對事物關系直接的感知與認識。例如，借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系産生對數量關系的直接感知，即可稱之為“幾何直觀”。我在本文中要強調的觀點是，有作為的數學工作者與教師都應重視數學直觀能力的培養與訓練。

4、學會抽象

我們知道，許多現代數學家都傾向于承認數學是研究模式的科學。關于模式的原始觀念可追溯到古代的柏拉圖。我們個人也相信數學是以理想的量化模式作為研究對象的。這裡，所謂的量化模式或稱為數學模式，是泛指反映事物關系（包括空間形式與數量關系）的純粹形式結構。這種純粹形式結構必須是科學抽象的産物。所以理應具有概念上的精确性，簡易性，邏輯可演繹性與普适性。例如，自然數1,2,3，…是反映了離散事物順序計數的數學模式。微積分學是反映變量計算規律的一個大型數學模式。當然，數學中的每一條公理，定理，公式，典型的計算方法或者程序，以至于成型的推理法則（如數學歸納法，超窮歸納法以及康托爾--希爾伯特對角線論證法等），也都是或大或小的數學模式。

前面第二節，我們已談論到數學是以追求簡易性為目标的。可是數學模式的簡易性要求正是由概念方法上的統一性與概括性(普遍性)來體現的，而這又必須通過抽象過程來實現。換句話說，抽象是達到數學模式簡易性目标的必要手段和過程。因此，時刻要與數學模式打交道的數學工作者與青年教師都有必要及早領會和學會數學抽象的方法及技巧。

其實，隻要仔細考察分析數學上一些較典型的抽象定理和它們衆多的具體特例，都會發現它們是從特殊到一般、從具體到袖象的産物。我自己就是遵循這樣一條觀察分析的學習途徑去獲得數學抽象的基本技能的。

一般說來，數學抽象包含有四個步驟，即（1）觀察實例，(2)抓住共性，(3)提出概念，(4)構築系統或框架(理論)。下面作為解釋四個步驟的例證，我就來談談當年我是如何想到去提出“關系(Relation)映射(Mapping)反演(Inversion)原則”的。這原則也是一種普遍方法，可簡稱為RMI原則或RMI方法。最近十多年來，看來國内研究方法論的學者的一些論著中，都已認可和使用了這一名稱。

那是在1980年左右，我曾在國内三所大學講授過“數學方法論”，很喜歡向學生們介紹“哥尼斯堡七橋問題”、“斐波那契數列計算問題”、“拉普拉斯變換求解微分方程”等問題的思想方法。在準備講稿時，我很自然地意識到這些問題雖然形貌各異，但解決問題的核心思想卻是相同的。即都是利用了某些（包括廣義的）映射與逆變換概念。進一步的聯想，還使我想到了諸如初等數學中的對數方法，解析幾何方法，概率論中的特征函數方法，組合分析中的生成函數方法，偏微分方程論中的狄利克雷原理，甚至龐卡萊與克萊因在歐氏平面上構築非歐幾何模型的思想方法。本質上也都是各種映射（變換）與反演（逆變換）方法的具體實現。

正是對上述諸實例的共性有了全面的了解，才使我能夠使用數學語言來表述如下一系列普遍概念：關系結構(R)，未知原象(x)，映象結構(R*)，未知映象(x*)，可逆可定映映射(φ)，定映方法(Ψ)，已知映象(x*)，反演(φ^-1)。于是作為普遍解題模式的RMI方法即可表述成如下程序：

這裡的x*,x即表示通過與Ψ與φ^-1兩個步驟所求得的映象與原象(即問題(R,x)所要求的解答)。

當然上面提到的各個著名問題與重要方法都屬于上述一般RMI方法的特例。例如，在解常微分方程初值問題的拉氏變換法中，常系數微分方程與初值條件形成關系結構R，而x便是要求的解函數。作為映射工具的φ是拉氏變換，φ^-1便是逆變換。在拉氏變換下映象結構R*往往成為代數方程組，于是通過代數方法将解x*求得後，再對x*施行逆變換φ^-1便求得解函數。

又例如在哥德尼斯堡七橋問題中，橋與島及陸地的連接關系作成關系結構R，而能否一次通過七條橋的問題成為未知原象x。歐拉将橋抽象成為線，将島與陸地抽象成為點，從而R變為點線圖R*，這一過程可稱為“概念映射”φ。在這—映時下，七橋問題(R,x)即變換成一筆畫問題(R*,x*)。于是通過一筆畫交點特征分析法Ψ，得知一筆畫問題之不可能性的答案x*。由于φ具有逆映射φ^-1(即可由抽象返回具體)，故結論便是一次通過七橋是不可能的(此即答案x)。

一般說來，凡能使用有限多次RMI方法就可獲得解答的數學問題即稱為“RMI可解問題”，而所需次數稱為可解問題的“階數”。

在1983年出版的拙著《數學方法論選講》一書中有專章論述RMI方法并有一批應用實例，感興趣的讀者可以查閱（該書第三版已在2000年問世）。非常巧合的是，同在1983年美國數學史專家H. Eves在他出版的《數學的偉大旅程碑》（the Great Moments of Mathematics）書中，也在一章描述了RMI思想方法。但該章主題是論述解析幾何發明史，而未将RMI抽象成為普遍的方法論原則。當然，Eves的著作是很富于見解的。

上面借助于例證說明了“從特殊到一般”的—般性抽象方法。事實上，在數學研究中，有時為了深化數學研究内，擴大數學應用應用領域，還常常要在—般性的數學結構上，利用引入新特征(新概念)的辦法去得到更有深刻而豐富内涵的新結構或新對象。這種“從一般到特殊”的概念深化過程稱之為“強抽象“。

例如，在連續函數類上引進“可微性”概念便得到了可微函數類。顯然後者在結構上比前者更特殊化了。但如果沒有這種抽象特殊化，又怎能産生微積分學呢?又如果不在—般的巴拿赫(Banach)空間上引進“内積”概念從而導入更有深刻内涵的希爾伯特(Hilbert)空間概念，那又怎能使泛函分析成為現代物理科學中的重要工具呢?數學上有許多著名例子使我們認識到，強抽象是理論研究中最富有成果的數學抽象過程。所以我認為數學工作者理應持别重視“強抽象”。

強抽象的關鍵是把—些表面上不相關的概念聯系起來，設法在其中引進某種關系或“運算”，并把新出現的性質作為特征規定下來，從而構造出新的數學結構成模式。這種抽象法則可稱為“關系定性特征化法則”，凡是精通這—法則而又有深厚具體應用背景知識的數學家，往往能由此作出創造性的貢獻來。因此我認為，凡希望對數學做出創新成果的青年數學工作者，應努力學會正确地運用“關系定性特征化法則”去構築有價值的數學新結構或新模式。

5、不怕計算

不怕計算可以說是我在長期數學工作中養成的一種性格或習慣。我在小時候是不喜歡做算術計算題的，甚至對複雜的計算很害怕。後來，學了中學代數和三角學，學會把複雜的式子化成最簡式，感到是一種愉快。有時看到或得到一些很有規律的對稱式，很覺得高興。

我相信，人人都有愛美之心。而數學結構形式（包括公式與各種關系）間的簡單性、規律性與對稱性等正好是美的特征，所以我之開始喜歡計算并學會計算，大概與我喜愛“數學美“的天性有關。

在以往的數十年裡，我從事計算數學的方法與理論研究，更是時時與分析計算打交道。這樣，我就培養了對計算的興趣與耐心。特别我很喜歡從複雜的計算過程中尋找規律，尋覓最簡潔的結果。有時候意想不到的簡單結果會帶給我極大樂趣。

例如，60年代我自己最感興趣的一個工作是，我發現在最一般形式的“快速振蕩函數積分”的漸近展式中，居然出現重要的積分因子——伯努利多項式。這一結果是通過一系列計算後發現的。包含這一結果的文章發表發表于1963年[見英國Pro. Cambridge Phil. Soc., 59:1(1963)]。說來奇怪，時過24年後，美國三位學者的合作論文中又重新發表了我的結果的特例[見美國Math. Comp., 49(1987), 作者為V. Banerjee, I. Lardy, A. Lutoborski].

計算能幫助發現規律，發現漂亮的新結果，這些正是推動人們能耐心地從事複雜計算的心理動力。所以根據我個人的學習與工作經驗，我贊成應利用青少年的愛美的天性和尋求新結果的好奇心，配以啟發性的教材，讓他們不怕計算，學會計算，并能從計算中尋找樂趣。

尾聲

最後，我想談的是，我一生中的絕大部分數學知識實際是通過自學和教學工作過程獲得的。我在大學畢業時，連什麼是勒貝格積分，調和分析研究些什麼，什麼叫做巴拿赫空間，什麼是群論中的伽羅瓦(Galois)基本定理，如此等等均一無所知。後來，由于教學需要，我曾先後講授過十七門數學課程，通過自學與教學才逐步弄明白了許多數學分支的重要題材，甚至有些靠自學得來的知識還成為我寫作論文的基礎。因此，在我長期的數學生涯中，我深切體會到“教、學、研相互促進的規律”。在這裡我樂意将這條規律——指導我成長的一點經驗——介紹給我國的年青數學工作者。

作者簡介：徐利治（1920年9月23日—2019年3月11日），出生于江蘇省張家港市，1945年畢業于西南聯合大學，1946年加入中國共産黨。中國數學家、教育家，大連理工大學教授。緻力于分析數學領域的研究，在多維漸近積分，無界函數逼近以及高維邊界型求積法等方面獲衆多成果，并在我國倡導數學方法論的研究。

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