小學數學中的4條“基本”性質

　　2018年8月7日星期二

　　拟定這樣的題目，多少有些博人眼球。4條性質倒是有的，但“基本”不是。這4條性質分别是：

　　①除法的商不變性質：

人教版四年級數學上冊87頁

　　②小數的性質：

人教版四年級數學下冊40頁

　　③分數的基本性質：

人教版五年級數學下冊57頁

　　④比的基本性質：

人教版六年級數學上冊50頁

　　可見，學習最早的是“除法的商不變性質”，然後是“小數的性質”，接下來是“分數的基本性質”，最後是“比的基本性質”。亦可見，冠以“基本”的有“分數的基本性質”和“比的基本性質”。“除法的商不變性質”有時也被稱為“除法的商不變規律”。

　　對于“性質”與“規律”的差别，或許您和我一樣充滿好奇，但相信我，您不會對此感興趣的，它們二者的差别涉及到了哲學上的概念範疇，看了會更加糊塗，不如不看，“揣着糊塗裝明白”！比如：

　　“馬哲中的規律：亦稱法則。客觀事物發展過程中的本質聯系，具有普遍性的形式。規律和本質是同等程度的概念。客觀性規律：它是客觀的，既不能創造，也不能消滅；不管人們承認不承認，規律總是以其鐵的必然性起着作用。規律等同于真理：這個世界任何物質都受規律約束，彼此對立又互相聯系統一。”

　　“性質是從客觀角度認知事物的形式，是人或事物的本質。”

　　……

　　怎麼樣？我是成功地“糊塗”了……隻是約略發現痕迹：“規律”、“法則”、“本質”、“真理”、“性質”……這些詞語在某些情況下是同義的、通用的，所謂“同義相訓”是也。

　　至于“基本”，倒是可以說道說道。基本指基礎的、主要的、根本的。想來除此之外，還有其他的性質。我頗費周章，搜到的有：

　　這些性質在初中才會學習，如果注意其假設條件就會發現：它們的出發點是“分數或比的基本性質”。由此可見，所謂“基本”性質大抵是可以推導得出其他性質的，所以稱呼為“基本性質”，是由其本源、基礎的地位所決定的。

　　今天以此為話題，除了可以幫助小朋友們串聯、鞏固已學的知識外，也是基于對這些内容産生的新的思考和認識。

　　（一）4條性質在本質上是一緻地，都源于“除法的商不變性質”。

　　我們經常做這樣的類比：分子、比的前項相當于被除數，分母、比的後項相當于除數，分數值、比值相當于商。三條性質可以統一為：

　　除法（分數、比）的被除數（分子、前項）和除數（分母、後項）同時乘以或除以相同的數（0除外），商（分數的大小、比值）不變。

　　（重要程度★★★★）

　　小數的性質似乎采用了完全不同的表述：小數的末尾添上“0”或去掉“0”，小數的大小不變。舉例就是：

　　0.1＝0.10＝0.100＝0.1000＝……

　　如此而已。

　　但如果依據小學數學教材中給出的“分母是10、100、1000……的分數可以用小數表示”，我們可以将其還原成分數形式——這句話的本意是根據十分之一、百分之一、千分之一……引入小數的計數單位和小數的表示形式，現在，我們将其反其道行之。小數的性質展現的内容變為：

　　此時，您會發現：它的本來面目就是分數的基本性質。

　　（二）每條性質的出現都有其特殊的地位和作用。

　　（1）除法的性質出現于整數除法（除數是兩位數的除法）學習完成之後，目的是為即将學習的小數除法提供算理上的依據和支撐。我們都知道，要計算一道除數是小數的除法，首先要将除數轉化為整數，然後按照整數除法的計算法則進行計算。這個“轉化”的過程的依據就是“除法的商不變性質”，例如：

　　223.72÷3.4＝（223.72×10）÷（3.4×10）＝2237.2÷34

　　上式中的等号不是随手寫上的，顯然是由“除法的商不變性質”作保證的，使得針對小數除法算式所做的變化是有理有據的。

　　除了這個主要的應用，還演生了許多“副産品”，往往都是為了更好地理解“除法的商不變性質”，比如：

　　　120÷15

　　＝（120×4）÷（15×4）

　　＝480÷60

　　＝8

　　這是一種湊巧的簡便計算。再如：

　　0.86÷0.4＝2.1……（ ）

　　這道題算是夠“坑”的一道題，如果依據豎式除法進行正向計算，多半會得出錯誤的結果0.2，甚至是2。出現這個錯誤的原因是：應用“除法的商不變性質”時，性質本身并沒有明确告訴我們“餘數也不變”。事實上，餘數作為被除數的一部分，是随着被除數的擴大而擴大，縮小而縮小的。在将0.86÷0.4轉化為8.6÷4的過程中得到的新的餘數0.2，比原來的餘數擴大了10倍，所以原來的餘數是0.2÷10＝0.02。這樣的題，對于深入理解“除法的商不變性質”的應用特點極為有益。出題者估計也是沖着這一點來的。但反過來想，小數的除法本來就是為了“消滅餘數”的，在小數除法計算的過程中戛然而止，探問餘數，也真是讓人驚訝于出題者的腦洞，因為本題的結果本就是有限小數，可以除盡的：

　　0.86÷0.4＝2.15

　　最好的方法莫過于用“靠譜”的方法進行驗算：

　　0.86－2.1×0.4＝0.86－0.84＝0.02

　　因為：餘數＝被除數－商×除數。此誠所謂“你有你的張良計，我有我的過牆梯”！

　　（2）小數的性質的作用顯見的是：化簡小數、統一精度。比如：

　　105.0900＝105.09 （去0）

　　32.8元＝32.80元 （添0）

　　但更深層次的是：為小數的大小比較做鋪墊。我們在整數的大小比較中學到了兩條比較大小的方法：

　　①數位數，比如：1000＞999；

　　②從高位到低位一位一位地往下進行同位相比，比如：998＜999。

　　自然會想将其繼承、延續下來。但小數部分的數位與整數部分的數位情況有所不同：整數部分沒有最高位，有最低位（個位）；小數部分有最高位（十分位），沒有最低位。生搬硬套方法①的話就會出錯：

　　0.3＜0.23

　　這恐怕是由于“比位數”帶來的負遷移：3＜23。

　　我們來看一組數字的“華麗”變化：

　　103＝……000000103

　　0.05＝0.05000000……

　　1.2＝……0001.2000……

　　這或許會刷新您對“數位”的理解，一個三位數103，也可以看成是無窮多位數，隻不過百位以上的數位上的數字都是0。而一個兩位小數0.05，也可以任意地寫成三位小數0.050，四位小數0.0500……或許，數位就是一個“不确定”的東西。在以前的教材中，曾引入過“有效數字”、“無效數字”的概念，現在沒有了，不過，現在看來，還是有點意義。我們不會把103寫成000103，是為了追求簡潔，也是因為高位添加的0都是“無效數字”，去掉了也不會影響數的大小。但有時候，人們還就是需要将數字的位數統一，比如考号1～300，将1号強制寫成001，這如同統一小數位數的精度一樣。需要注意的是：不要将0和無效數字劃等号，比如0.05的個位、十分位上的數字0就是有效數字，不能去掉。

　　當數位不再确定、不再重要時，比較大小變化為：

　　1000＞0999

　　0.30＞0.23

　　即用“0”占齊無效數位，在“等位數長度”的情況下，隻用方法②從高位到低位一位一位地往下進行同位相比。

　　或許，小數的性質就是要婉轉地告訴我們：數位數并不是比較數的大小的本質方法，它隻是一種同樣湊巧（指碰到了整數）的簡便方法；從高位一位一位地往下進行同位相比才是最重要的。

　　（重要程度★★★★）

　　（3）分數的基本性質既揭示了分數的特點，又為通分、約分提供依據。

　　如同小數一樣，分數也擁有無窮多的等價變形：

　　就像0.5是最簡形式一樣，分數也有一個最簡形式，就是分子、分母是互質數的時候，也就是公因數隻有1的時候，這時的分數叫做“最簡分數”，比如上面的二分之一。一個分數由“最簡形式”到“不簡形式”，或由“不簡形式”到“最簡形式”，是可以自由切換的，它們遵循的規則就是：分數的基本性質。

　　約分的過程，其實就是不斷地對分子、分母除以它們的公因數，使其分子、分母不斷變小，直到“最簡分數”：

　　通分的過程恰好相反，就是不斷地擴大分子、分母，在無窮無盡的分母中，總會傻傻地找到相同的分母的（此時分數的計數單位相同，可以直接進行加減法計算）。當然大家知道，有了“最小公倍數”之後，我們完全不用這麼傻，此處隻是盡力還原問題最開始的情況：

　　（4）比的基本性質可以用來化簡比，尋找比例。比如：

　　10：25＝（10÷5）：（25÷5）＝2：5

　　6：10和9：15

　　6：10＝6÷10＝0.6

　　9：15＝9÷15＝0.6

　　所以：6：10＝9：15（表示兩個比相等的式子叫做比例）

　　比可以寫成分數形式，比如：

　　自上而下讀為：10比25；而不是自下而上讀為：25分之10。這種形式似乎說明“比的基本性質”和“分數的基本性質”完全等價。我找不出十分突出的差别，因為它們在本質上确實一緻。我隻找出了一些細枝末節的東西，比如“最簡整數比”不再像“最簡分數”那樣成為比的表現形式的唯一追求。有時，人們對比的前項是1或後項是1的比更為青睐，比如：

　　10：25＝1：2.5＝0.4：1

　　1所代表的數量，往往是作為參考的“基準”的。仔細閱讀您的數學書，或者仔細留意生活，您會發現這一點的。比如：地圖中的比例尺就會使用這種習慣。

　　本次的複習就至此打住吧。

　　再會。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!