推導牛頓萊布尼茨定積分公式-tft每日頭條

推導牛頓萊布尼茨定積分公式

圖文更新时间:2024-07-20 06:20:26

我們都知道牛頓-萊布尼茲的公式，關于這方面的各類文章資料可以說數不勝數，多如牛毛，我們不在此作任何贅述

推導牛頓萊布尼茨定積分公式（你知道二重積分）1

但對于二重積分的牛頓-萊布尼茲的公式卻鮮為人知，屈指可數，這是本篇的重點

推導牛頓萊布尼茨定積分公式（你知道二重積分）2

提前告知我們的小夥伴們，二重積分的牛頓-萊布尼茲公式就是如下形式，你知道它是怎麼來的嗎？

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我們來看如何證明這個結論：

首先F(x,y)對x,y的偏導數是如下形式，這個大家一目了然

推導牛頓萊布尼茨定積分公式（你知道二重積分）4

我們令（這是有上面的式子得到）

推導牛頓萊布尼茨定積分公式（你知道二重積分）5

如果我們取原函數F(x,y)與上式隻差，得到一個新的有關x,y的函數

推導牛頓萊布尼茨定積分公式（你知道二重積分）6

很明顯，對上式G(x,y)取偏導數，就等于0，對于這個式子你學過偏導數就很容易理解哦

推導牛頓萊布尼茨定積分公式（你知道二重積分）7

因此Gy(x,y)是不依賴于x的，僅與y有關的連續函數：Gy(x,y)=β(y),若令

推導牛頓萊布尼茨定積分公式（你知道二重積分）8

其中很明顯B(y)中含有y的項與G(x,y)中含有y的項是相同的，G(x,y)-B(y)中僅含有與y無關的項，所以就會得到

推導牛頓萊布尼茨定積分公式（你知道二重積分）9

或者可以理解G(x,y)-B(y)是不依賴于y的，僅與x有關的連續函數A(x),即

推導牛頓萊布尼茨定積分公式（你知道二重積分）10

根據上述得出的式子，我們就得到

推導牛頓萊布尼茨定積分公式（你知道二重積分）11

根據文章開頭F0(x,y)的二重積分，我們得到

推導牛頓萊布尼茨定積分公式（你知道二重積分）12

結合上面兩個式子所以我們很容易得到

推導牛頓萊布尼茨定積分公式（你知道二重積分）13

這個就是二重積分的牛頓-萊布尼茲公式形式

如果将b,d 換成x, y就變成如下樣式

推導牛頓萊布尼茨定積分公式（你知道二重積分）14

以上證明比較簡單，但邏輯性很強，希望對夥伴們有所幫助

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