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上期回顧：

在上一篇“有趣的數學|最強大腦裡的阿基米德多面體原來是這樣”中，魔法君為大家講解了柏拉圖多面體以及五種截角多面體，在這一篇中我們将會繼續為大家講解什麼是“截半”“斜方”“扭棱”阿基米德多面體。

“截半”與“截角”類似，隻不過切割點變為了每條棱的中點，故稱為“截半”。“截半”産生的新截面是比“截角”大一圈的同種正多邊形，而原始柏拉圖多面體的所有面變為了小一圈的同種正多邊形。

這樣得到的多面體也必然滿足半正多面體的兩個條件，所以我們得到了兩種截半體。

為什麼是“兩種”呢？

這時候就要用到之前提到的對偶性了。大家不妨在腦海中切割一下正方體和正八面體，你會發現兩者截半後得到了相同的多面體。

切割立方體

所以截半立方體就是截半八面體。

截八面體

同理，截半二十面體就是截半十二面體。

截半十二面體

至于正四面體，四刀下去，我們得到了一個正八面體，故不再記作一種阿基米德多面體。

正四面體

接下來是四種斜方體，比較複雜。

斜方體是由截半體切割而來，兩種截半體和兩種切割方式産生了4種斜方體。

以較為簡單的截半立方體為例，作出所有棱的中點，連接同一頂點附近的四個中點，以此為截面切割，使得所有原始三角形變為小一圈的三角形，所有正方體變為小一圈的正方形。同時，對應着截半立方體的十二個頂點，産生十二個新的正方形的截面。這種切割方式與“截半”類似，得到的多面體稱為小斜方截半立方體。

截半立方體

小斜方截半立方體

若是作出截半立方體所有棱的三等分點，連接同一頂點附近的四個三等分點，以此為截面切割，使得所有原始三角形變為正六邊形，所有原始正方形變為正八邊形，并産生十二個新的正方形的截面，這樣就得到了大斜方截半立方體，也不難發現這種切割方式與“截角”類似。

大斜方截半立方體

同樣的，對截半二十面體進行“截半”和“截角”，分别可以得到小斜方截半二十面體和大斜方截半二十面體。

小斜方截半二十面體和大斜方截半二十面體

現在，我們已經介紹完了11種由切割構造的阿基米德多面體。

喘口氣，接下來欣賞一下兩種最特别的阿基米德多面體——扭棱立方體和扭棱十二面體。

扭棱立方體和扭棱十二面體

扭棱立方體和扭棱十二面體的特别之處首先體現在其構造方式上。這兩者不能像前11種那樣用簡單的切割描述。

現在請各位在腦海中想像一個立方體。将立方體的六個面扭轉一定的角度，同時向外推出，推到合适的位置，使得我們剛好可以用32個等邊三角形填滿6個正方形之間的空隙。

示意圖

這聽起來很抽象。但是如果你能夠想象出這一過程，就一定會被它的華麗優美深深吸引。

因為構造過程扭轉了立方體的所有棱，故稱為扭棱立方體。

扭棱立方體

用同樣的方式可以構造出扭棱十二面體，将十二面體的所有面扭轉一定的角度，同時向外推出到合适的位置，使得我們剛好可以用80個等邊三角形填滿12個正五邊形之間的空隙，就得到了扭棱十二面體。

扭棱十二面體

現在，我們已經了解了兩種扭棱體華麗的構造方式，但它們的特别之處還不止于此。

事實上，它們是極為罕見的“手性多面體”。

如果一個物體不能與自身的鏡像重合，則該物體具有手性。

想象一下扭棱立方體的構造過程，如果扭轉方向為順時針，稱得到的多面體為扭棱立方體A；如果扭轉方向為逆時針，稱得到的多面體為扭棱立方體B。

顯然地，A與B的幾何性質完全相同，但兩者無論如何平移旋轉都無法重合，一如鏡子表裡的兩面。

扭棱十二面體也是如此。

扭棱立方體A、B

至此，我們已經了解了全部13種阿基米德多面體。

13種阿基米德多面體

但在結束之前魔法君還想講一點題外話。

回想一下我們在上一篇“尋找阿基米德”的開頭提到的多面體的對偶。事實上，多面體的對偶就是将一個多面體的頂點映射成面，面映射成頂點。

阿基米德多面體的全部頂點等價，故阿基米德多面體的對偶多面體的全部面等價。

示意圖

這13種多面體被稱為catalan多面體，它們也具有極高的對稱性。

Catalan多面體

除此之外，還有數不盡的關于頂點、棱、面對稱的凸多面體。

凸多面體

除此之外，還有有坑的，長角的，打洞的，重合的多面體。

示意圖

除此之外，還有四維的，五維的對稱幾何體……

四維的幾何對稱體

五維的對稱幾何體

如果有興趣你們可以繼續研究^_^

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