在中學的物理課本中，同學們已經初步學習了浮力原理，即浸沒在液體中的物體會受到垂直向上的浮力，其大小等于該物體排開的液體所受到的重力。這個定理是希臘學者阿基米德最先發現的，因此也稱其為阿基米德原理。

但是，在中學物理課本中，并沒有詳細講述該原理的來龍去脈。實際上，阿基米德原理是前面在第32期“咖啡壺奧秘”中提到的中學課本中壓強基本概念的一個重要推論。基于靜止流體中壓強的基本公式，本文詳細地給同學們介紹一下阿基米德原理的推導過程及其相關的一些知識點。

關于阿基米德發現浮力原理的過程，相關傳說有很多個版本，其中一個被廣泛流傳的版本是從公元4-5世紀的拉丁詩歌（注一）中講述的故事傳承下來的。該詩歌講述了阿基米德當時應國王的邀請檢查國王的王冠在制作過程中是否被摻雜了其他的金屬。

在思考此問題的過程中，阿基米德冥思苦想也沒有找到合适的方法。有一天，阿基米德正在浴缸中洗澡，突然有了靈感，提出了通過比較王冠和制作所需的等量黃金所排開水的體積的方法測量王冠是否被摻假。基于此，阿基米德提出了浮力原理及其計算公式，即我們課本中熟知的浮力計算公式。

圖一 思考中的阿基米德 該畫作由畫家Domenico Fetti 繪制于1620年

圖二 描述阿基米德在洗澡過程中發現浮力原理的漫畫

為了推導阿基米德原理并深入讨論該議題，我們現在對一個完全浸入到水中的球體（見圖三）進行受力分析。外界的大氣壓我們用p0表示。圖中A和B點是球體兩側的兩個極點，其沿着重力方向的垂線與容器内水的液面分别相交于C和D點。根據中學課本中的靜止液體壓強公式，在距離液面一定水深處的一點，球體在點所受到的壓力等于液體密度乘以重力加速度再乘以距離液面的高度再加上外界大氣壓。

圖三 完全浸沒在水中的小球示意圖

從壓力的性質可知，水中壓力的方向是垂直于物體表面且沿着内法線方向的。因此球的上表面所受到水的壓力是向下的，而下表面受到水的壓力則是向上的。因此，我們将小球分成兩部分并分别進行受力分析。

對于下表面，我們可以按照微積分的思想将其分成無數個小的微元，其受到的壓力等于該微元處的流體壓強乘以微元的截面積。因為A和B點在同一高度，壓力在水平方向上的分量會自行抵消，所以我們隻需要考慮豎直方向上的力即可。将上述求得的力沿着垂直方向進行分解并進行求和（即積分）便得到了下表面受到的浮力，其方向是向上的。在分解的過程中，為了方便起見，我們可以将微元截面向水平方向進行投影。

另外，按照上述的計算，我們發現上述積分正好等于由圖四中的紅色斜線所标記區域所具有的體積。

圖四 小球下半部分所受到的壓力分析

我們現在用同樣的辦法對小球的上表面進行受力分析，其數值大小等于圖五中的紅色斜線所标記區域的體積。

同時，注意到流體對小球上表面産生的壓力方向是向下的，我們在其前面增加一個負号。我們将上、下表面所受到的垂直方向上的力進行相加便得到了小球所受到的浮力的大小。在上述運算過程中，在上下表面受力分析過程中得到的兩個體積相減則正好等于小球本身的體積。另外，大氣壓強在計算過程中互相抵消對浮力并沒有影響。因為上述兩個體積相減總是為正值，所以小球受到的浮力是豎直向上的。

這個時候，我們便通過運用中學課本中的壓強公式和微積分證明了阿基米德浮力原理。在上述推導過程中，我們基本上隻使用了一些基本的微積分思想以及流體壓強的若幹特性。但通過這個推導過程，我們對中學物理裡的浮力原理更進一步地加深了認識。

圖五 小球上半部分所受到的壓力分析

現在，我們圍繞浮力做一點拓展思考。根據浮力原理，物體所受到的浮力隻與其排開液體的體積有關。因此，潛水器無論是處于10米深還是1000米深的水中，其所受到的浮力都是一樣的。不同的是，潛水器的内部和外部間的壓差在不同的水深時會有極大的不同。

在遊泳池中，如果我們不運動的話，身體便會下沉，這主要是因為所受到的水的浮力較小，無法抵消重力。人體的平均密度大概為1.026 g/cm3，比水的密度1.000 g/cm3略大，因此人在遊泳池中不動的話會沉底。

一般海水的密度1.030 g/cm3，跟人體的大緻相當，海水中遊泳時也是會下沉。可以想象一下，隻要往水中加入足夠的鹽，水的密度便會顯著提升，從而人便可以在其中浮起來了。例如，死海中的鹽度很大，其密度為1.100 g/cm3，難怪人在其中可以毫不費力地浮起來。

另外，還可以從能量守恒的角度思考流體靜壓強的基本公式。在流體中，機械能主要包括重力勢能、壓強勢能、動能三種。

當流體靜止時，其動能為零。當流體從較高的位置變化到較低的位置時，流體的重力勢能降低了，并全部被轉化為了壓強勢能。因此，流體中的壓強便會升高，其具體的升高數值用中學課本中的壓強公式計算即可。因此，中學課本中的流體靜壓強計算公式也可以看作是能量守恒在靜止流體中的表現形式。

從中學課本的浮力原理到本文的推導，本科生在增長知識見識的過程中可以體會以下幾點。

知識升華

從中學課本中對浮力原理的簡單介紹到大學教育中從流體力學角度對浮力原理的詳細推導，實際上是對知識不斷地加深理解、認識和思考的過程。正如本文所展示的，同一個知識點從不同的維度去進行理解是一種很好的個人思維訓練方法和手段。

重視基礎

在本文的推導過程中，同學們需要用到若幹微積分的思想和技巧。實際上，很多大學課程的學習都需要前期掌握必要的基礎知識。

例如，公共基礎課微積分是學好流體力學等專業核心課程的前提，而流體力學知識又是深入理解專業主幹和選修課程的必要儲備。由于上述課程間存在着較強的耦合，本科生在學習過程中應尤其注意，打好基礎為要。

适用範圍

中學課本以及本文的講述過程中舉的例子一般都是浸沒在液體中物體的浮力。那麼，浮力公式是否适用于氣體中的情形呢？實際上，如果氣體的密度變化很小甚至可以忽略時，可利用浮力公式對該情形進行簡單的估算。

例如，比如，公園中常見的氦氣球便是利用浮力原理在空氣中實現浮升的。氦氣的密度0.1786 kg/m3，遠低于空氣的密度1.2900 kg/m3。此外，中國科學院正在進行的科學考察用的浮空艇的内部也是充的氦氣（見圖六）。

值得注意的是，與水不同的是，空氣的密度受到衆多因素的影響，包括海拔、氣候等等，導緻浮力和壓強的計算更為複雜。

圖六 中科院青藏高原科學考察使用的浮空艇

注釋部分

注一： 該拉丁詩歌的名字是Carmen de ponderibus et mensuris。

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