所謂二次函數與矩形存在性問題，即在二次函數中确定動點位置，使其與其他點等構成矩形，本文将對題型構造及解決方法作簡單介紹．首先關于矩形本身，我們已經知道：矩形的判定（1）有一個角是直角的平行四邊形；（2）對角線相等的平行四邊形；（3）有三個角為直角的四邊形．

第一步：先畫草圖。因為題目已經明确四邊形頂點的順序，所以可以得知A，M為矩形相對的兩個頂點。第二步：求點坐标，可以直接通過對角線相等計算長度。

1.鋪墊知識

鋪墊1：直角三角形存在類問題的幾何作圖方法

已知點C為直線上一動點，請問是否存在點C使得△ABC為直角三角形，如果存在，請畫出示意圖.

圖1是指以點A為直角頂點時對應的C點；圖2是指以點B為直角頂點時對應的C點；圖3是指以AB為直徑和直線相交時對應的C點.上述作圖方法我們簡稱為"一圓兩垂直"

鋪墊2：直角三角形存在類問題的解題策略詳情請參考"二次函數與直角三角形存在類問題"

鋪墊3：平行四邊形頂點坐标公式

根據平行四邊形的性質對角線互相平分，可以知道點O為線段AC和線段BD的中點。

（AC為對角線時）

因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．确定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個．

2.題型分類：

（1）2個定點 1個半動點 1個全動點；

（2）1個定點 3個半動點．

思路1：先直角，再矩形

在構成矩形的4個點中任取3個點，必構成直角三角形，以此為出發點，可先确定其中3個點構造直角三角形，再确定第4個點．對"2定 1半動 1全動"尤其适用．

引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在平面中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐标．

【小結】這種解決矩形存在性問題的方法相當于在直角三角形存在性問題上再加一步求D點坐标，也是因為這兩個圖形之間的密切關系方能如此．

思路2：先平行，再矩形

當AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為矩形：

其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點坐标後，代入點坐标解方程即可．無論是"2定1半1全"還是"1定3半"，對于我們列方程來解都沒什麼區别，能得到的都是三元一次方程組．

引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在平面中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐标．

【小結】這個方法是在平行四邊形基礎上多加一個等式而已，剩下的都是計算的故事．

1.構造對角線互相平分且相等得矩形

例1（2019南充中考題，有删減）如圖，抛物線y=ax² bx c與x軸交于點A（-1，0），點B（-3，0），且OB=OC．

（1）求抛物線的解析式；

（2）抛物線上兩點M，N，點M的橫坐标為m，點N的橫坐标為m 4．點D是抛物線上M、N之間的動點，過點D作y軸的平行線交MN于點E．

①求DE的最大值；

②點D關于點E的對稱點為F，當m為何值時，四邊形MDNF為矩形．

2.構造直角得矩形

例2（2018鐵嶺中考題，有删減）如圖，抛物線y=-x² bx c交x軸于點A，B，交y軸于點C．點B的坐标為（3，0）點C的坐标為（0，3），點C與點D關于抛物線的對稱軸對稱．

（1）求抛物線的解析式；

（2）若點P為抛物線對稱軸上一點，連接BD，以PD，PB為邊作平行四邊形PDNB，是否存在這樣的點P，使得平行四邊形PDNB是矩形？若存在，請求出tan∠BDN的值；若不存在，請說明理由．

以二次函數為背景的矩形存在性問題，需要在複雜的問題中牢牢把握核心問題，确定求動點坐标，把矩形問題轉化為直角三角形存在性問題，畫圖，并求解。這樣可以讓學生清楚問題的來龍去脈，以及相關圖形的組合。

第一步：分類讨論。分清具體邊為對角線，還是為矩形的邊。第二步：作圖。可以利用對角線互分，相等；邊平移，作垂線。第三步：利用直角三角形的性質求點坐标（轉化為直角三角形存在性問題，通過一線三直角，斜邊上的中線等于斜邊的一半解決）體會一線三直角方法更好，優化方法。

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