等比數列定義:
如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的比都等于一個常數(不為0),那麼,這個數列就叫做等比數列。
這個常數叫做等比數列的公比。
來看下面這道題:
【例1】求1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024的和。
通過觀察,會發現這個數列的後一項比上前一項都是2。
2÷1=2;
4÷2=2;
8÷4=2;
……
1024÷512=2。
所以這個題目就是典型的等比數列求和題,
公比是2。
例1中,如果拿筆硬算會十分麻煩,而且容易出錯。
在這裡G老師分享一個計算等比數列求和題目時經常用到的一個方法。
☞ 錯位相減法
令A=1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024,
G老師讓A這個式子再乘以數列的公比,
會得到什麼呢?
2A=2 4 8 16 32 128 256 512 1024 2048,
這樣我們構造出了一個新數列,
而且這個數列的和等于原數列乘以公比。
再将兩個式子相減,
G老師手寫
左邊是2A-A=A;
右邊是2048-1;
等式右邊其餘的項都已經抵消了。
這樣我們就得出結果了,
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024=2047
再來看看下面這道題
【例2】計算3 9 27 81 243 729 2187
分析:這題是等比數列求和,公比是3,共有7項。采用錯位相減法,讓等式乘以它的公比。
令A=3 9 27 81 243 729 2187;
則 3A=9 27 81 243 729 2187 6561;
兩式相減,
3A-A=2A=6561-3
2A=6558
A=6558÷2=3279
所以,
3 9 27 81 243 729 2187=3279
總結一下,等比數列的一般規律。
等比數列中,
公比=後一項÷前一項;
末項的值=首項x公比的(n-1)次方(n代表項數)。
注意:公比的(n-1)次方=(n-1)個公比相乘
如【例2】中,末項是2187,首項是3,項數n=7。
2187=3x3^(7-1)
等比數列的和=(末項x公比-首項)÷(公比-1)
(由錯位相減法得出)
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