複數(Complex)作為實數的拓展曆史悠久, 一度曾被叫做子虛烏有的數(imaginary), 直到十八世紀初經過棣莫弗及歐拉大力推動, 才被數學家們漸漸接受.

确實理解複數确實需要一點時間, 不過它并不複雜, 而且利用它還能畫出非常美麗的變換和分形圖形, 這次讓我們用圖形可視化的方式來擁抱這個概念.

先來看看在實數軸上兩個數的加減乘除這 4 種運算. 觀察到紅藍兩個點(數), 在不同的計算下, 其結果(綠點)的變化, 不管數怎樣變化, 都總還落在數軸上(除法分母為 0 時候, 當然沒有意義).

再來看下圖中, 任何實數乘以 -1 的結果都會落在關于原點對稱相應的位置上. 所以乘以 -1 的計算可以理解為該點(數)繞着原點旋轉了半圈.

數學家進一步思考, 既然乘以 -1 是轉動 180°, 那麼隻轉動了 90° (比如整數 1 )落在哪裡? 有什麼意義呢?

這是19世紀數學史上非常重要的一步, 現在不在是在一維的實數軸上, 而是進入了二維的複平面.

考慮到轉動兩個 90° 會剛好到 -1. 所以認為 -1 的平方根是相應于 1 的一個 90度的旋轉(也就是 1*i*i=-1), 這樣在平面上與實數軸垂直的單位線段, 稱為是 1 個虛數單位 i . 于是有着性質:

這個沒在實數軸上奇怪的點實際上落在複數平面(complex plane, 或稱為阿爾岡平面)上了, 所有在複平面上的數都滿足 z=a b i 這樣的結構, 稱之為複數. 其中a 稱為實部(real part), b 為虛部(imaginary part). 如下圖 1 2i 複數, 1 和 2 是實數, i 是虛數單位, 這樣的複平面幾何表示如下圖所示:

現在來看直角坐标平面是二維的, 需要兩個數(x,y)來描述任意一點的位置, 但現在用一個複數就夠了, 可以用實數組(a,b)代表這個複數, 并且可以在複平面上繪制出來. 不過請記住這裡應該将每個這樣的點看做一個複數, 而不是一對實數.

還有三個新概念需要知曉:

• 複數的模(modulus, 通常寫為 |z|)
• 輻角(argument, 通常寫為 arg(z))
• 複數的共轭(conjugate,通常寫為 ¯z)

複數的模就是它長度 r: 從原點到 z 點之間的距離. 輻角 φ 就是與實軸的夾角, 共轭就是 a-b i 的形式. 觀察下圖可以更好理解:

複數有如何運算, 比如可以兩兩相加, 也就是兩個複數實部和虛部分别對應相加, 可以看成是平移的操作.

複數也可以有數乘運算, 就是對模的放大或縮小了:

複數的乘法, 就如上面所述, 數乘以 i 相當于這個轉動 90°:

z1*z2 兩個複數相乘其實就是旋轉 伸縮兩種變換, 也就是兩個複數的模相乘(伸縮大小), 輻角相加(旋轉量).

如果對圖片中的每一點做複數運算的變換, 可以得到各種有趣的平面變換圖像. 這裡為了紀念歐拉大神, 就以他老人家頭像為例, 比如做乘以 2 i 的函數變換 - 旋轉 90°, 同時放大了2 倍的變換; 另一個變換函數為三次方, 你也可以思考為什麼會變成這個形狀呢? :-)　

複平面内的點可以轉成極坐标(不清楚可查看這裡)的形式 (r,θ), 那麼該點所表示的複數是什麼呢？可用 x = r cos(θ) 和 y = r sin(θ) 來轉化到笛卡爾坐标. 所以極坐标 (r, θ) 表示複數
z = x iy = r cos(θ) i r sin(θ).

特别的, 如果 r = 1, 則 z = cos(θ) i sin(θ).

形如 r e^(i θ) 的複數為極坐标形式, 并且與之相對的 x iy 為笛卡爾形式. 1743 年, 瑞士數學家歐拉給出了著名的歐拉公式, 對所有實數 θ 都成立:

特别當 θ=π 時，歐拉公式的特殊形式更是被評為數學上最美的公式:

這個簡潔公式包括了 5 個數學上最重要的常數: 0, 1(自然數的基本單位), e(描述變化率的自然指數), π 以及 i(虛數的基本單位).

我們可以很快用幾何的方法來證明該等式, 觀察下圖不同的 θ 值對應的極坐标 e^θ, 請留意動畫停頓之處(特别是在複平面旋轉角度為 180°, 點落到等于 -1 的時刻), 相信就會理解上面的歐拉等式:

關于複數, 還可以進一步查看這裡《文化脈絡中的數學》- 【從複數開始的科技文明】部分, 相信會有更多的收獲.

原作者：遇見數學

編輯：天津新東方大學考試-王老師

審核：sorin

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