雖然人們很早就發現了無理數，但是并沒有急于去定義無理數，也沒有急于定義一個可以包括無理數在内的數的集合（現在我們在中學就知道這個集合為實數集合）。我想，其原因至少有兩個：

一．必要性

我們已經看到，從自然數開始，每擴充一次數的集合都是為了滿足某種運算的需要，或者是讨論運算法則的需要。雖然上面談到，人們很早就發現在運算中會用到無理數，但是在實際運算中，隻需用無理數的近似值就可以了。事實上，在我們的現實生活中，得到的數據幾乎都是近似的。關于近似的功能，可以參考美國天文學家紐克姆的一段話：

“十位小數就足以使地球周界準确到一英寸以内，三十位小數便能使整個可見宇宙的四周準确到連最強大顯微鏡都不能分辨的一個量”

即便是今天，我們對無理數的處理也是用近似的方法，現代計算機的運算，不特殊指明時，無論是對有理數還是對無理數都精确到小數點後8位。

二．可能性

人們長期以來習慣于用分數來表示有理數，據記載，是16世紀的荷蘭工程師和數學家斯蒂芬開始用小數表示有理數，他用

24 3(1)7(2)5(3)

來表示有理數24(375/1000)。直到18世紀，一個穩定的十進位小數的表達形式才逐漸形成，即把上面的分數表示為24.375。

另一方面，一直到18世紀人們也沒有完全認清無理數的性質，因此對于無理數本身無法抽象出一個合理的表述方式。雖然早在丢番圖時代人們就發現，以有理數為系數的高次方程的根可以是有理數也可以是無理數，并且稱這樣的數為代數數，但是，是否可以用代數數來定義無理數呢？雖然可以證明代數數對于四則運算也是封閉的，但是，是否還存在代數數以外的數呢？歐拉認為還存在其他的數，并稱這類數為超越數，因為它們“超越了代數方法的能力之外”，他猜想圓周率π就是一個超越數。判定π是否為超越數的問題是十分重要的，因為這涉及古希臘的一個作圖問題“化圓為方”：做一個面積等于單位圓的正方形。1844年，法國數學家柳維爾用構造性方法證明了超越數的存在，從他的論文的題目“論既非代數無理數又不能化為代數無理數的廣泛數類”就可以體會這一類數的性質。1873年，法國數學家埃爾米特給出了一個技巧證明了e是一個超越數，其中e≈2.71828被稱為自然對數的底，是在現代數學中非常重要的一個數。1882年，德國數學家林德曼修改了埃爾米特的方法，成功證明了π是一個超越數，也完全解決了化圓為方這個古老的問題。

雖然德國數學家康托利用對應的方法證明了超越數的個數要遠遠超過代數數，但是，至今為止，人們能夠清晰刻畫的超越數依然是寥寥無幾。1900年在巴黎召開了世界數學家大會，上個世紀最偉大的數學家，德國哥廷根大學的希爾伯特教授在會上作了一個題為“數學問題”的重要演講。講演中提出的23個問題對未來數學的發展提出了挑戰，這些問題大多數已經得到解決，其解決過程很好地促進了20世紀數學的發展，其中第7個問題的題目就是“某些數的無理性與超越性”。

從上面的讨論可以看到，合理地定義無理數（進而實數）并不是輕而易舉的事情。雖然在現代的數學教學中，初中階段就把數集擴張到了實數，但是，與我們的教學過程相反，在數學發展的曆史上，實數理論的确立卻比微積分的出現還要晚，甚至可以說，是為了更合理地解釋微積分才産生了實數理論。正如克萊因在他的《數學：确定性的喪失》一書中所說：

“數學史上這一系列事件的發生順序是耐人尋味的，并不是按着先整數，分數，然後無理數，複數，代數數和微積分的順序，數學家們是按着相反的順序與它們打交道的。......他們非到萬不得已才去進行邏輯化的工作”

我們還是先讨論微積分的産生，然後再分析人們到底遇到了什麼困難，才“萬不得已”地去定義實數理論。微積分的産生至少依賴兩個重要的基礎性工作，一個是直角坐标系：把代數式與圖形有機地結合起來；一個是建立模型的思想：用代數式來表述物理現象。

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