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解析幾何直線斜率最值

生活 更新时间:2024-07-01 00:37:01

解析幾何中出現的角度問題并不一定都能轉化成斜率來處理,解析幾何中處理角度問題的方法也可以采用餘弦定理或向量法,隻不過用斜率較多,一般來說角度是與坐标軸所成的夾角時一般可以轉化為斜率問題,若角度并非與軸的夾角根據輔助線,相似或全等看能否轉化成與軸的夾角。

解析幾何大題中與角度有關的問題常以兩類形式給出,第一種條件中兩角度相等或成倍數關系,求其他量,第二種相反,讓根據條件證明角度相等或角度成倍數關系,當然角度與解析幾何的結合并非這兩種,也有可能讓證明某個三角形是特定的形狀,例如證明三角形為等腰三角形或其中某個角度為銳角,還有一種很多年不見的題型直徑圓也會與角度有關。

與角度有關的解析幾何題目在2017年全國卷中出現過,讓證明兩角相等,其實就是底邊在x軸上的等腰三角形,轉化為斜率之和為0即可,月前的八省聯考中讓證明角度為二倍關系,這兩角均為與x軸的夾角,轉化為角度的正切值,利用正切二倍角公式和斜率公式展開令其相等即可。

昨天有同學問到下面的一個題目,算是做一次簡單的擴展:

解析幾何直線斜率最值(解析幾何中角度與斜率之間的轉化)1

題目中∠AOx和∠BOx均為與x軸的夾角,兩角和為90°,據此可将角度條件轉化為斜率之積為1,過程如下:

解析幾何直線斜率最值(解析幾何中角度與斜率之間的轉化)2

若A,B兩點同在x軸下方,還滿足角度之和為90°,此時上下兩條直線關于x軸對稱,所以直線恒過的定點肯定在x軸上,若把題目改一下,設AB:y=kx b,∠AOx ∠BOx=45°,如何确定k,b之間的轉化關系?

解析幾何直線斜率最值(解析幾何中角度與斜率之間的轉化)3

之後用點表示出斜率,韋達定理帶入即可,再給出一個很經典的題目,如下:

解析幾何直線斜率最值(解析幾何中角度與斜率之間的轉化)4

解析幾何直線斜率最值(解析幾何中角度與斜率之間的轉化)5

解析幾何中的角度關系還有很多其他的處理方法,此類題目也很多,自己多總結一些即可,難度不大。

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