我們知道，把一個圖形沿着某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼稱這個圖形是軸對稱圖形，顯然把菱形沿着對角線所在的直線折疊，能夠與它本身完全重合，說明菱形是關于對角線對稱的軸對稱圖形，它的兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸，而菱形的對角線互相垂直，所以它又是中心對稱圖形。利用菱形的對稱性，可以說明某些線段、角相等或說明三角形全等。

如圖1，E是菱形ABCD的對角線AC上一點，則ΔABE≌ΔADE, ΔBCE≌ΔDCE．這個結論具有一般性，很多有關菱形的題都有該圖的"影子"，因而利用這個基本圖形的結論可以簡捷地解決問題．

類型1 利用菱形的對稱性求角度

1．如圖所示，在菱形ABCD中，∠BAD=70°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，垂足為E，連接DF，則∠CDF等于（ ）

A．75° B．70° C．60° D．55°

【解答】連接BD，BF，∵∠BAD=70°，∴∠ADC=110°，

又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA=35°，

∴∠CDF=110°﹣35°=75°．故選A．

【方法提示】解答本題時注意先先連接BD，BF，這是解答本題的突破口．

2．如圖，四邊形ABCD和四邊形AECF都是菱形，點E、F在BD上，已知∠BAD=110°，∠EAF=50°，求：

（1）∠ABD的度數；

（2）∠BAE的度數．

【解答】（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠ABD=∠CBD，

∵∠BAD=110°，∴∠ABD=∠ADB=1/2（180°﹣110°）=35°；

（2）∵∠EAF=50°，四邊形AECF是菱形，

∴AE=AF，則∠AEF=∠AFE=65°，∴∠BAE=65°﹣35°=30°．

類型2 利用菱形的對稱性求線段長

3.如圖所示，在邊長為2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，點E為AB中點，點F是AC上一動點，則EF BF的最小值為________ ．（提示：根據軸對稱的性質）

【分析】首先連接DB，DE，設DE交AC于M，連接MB，DF．證明隻有點F運動到點M時，EF BF取最小值，再根據菱形的性質、勾股定理求得最小值．

【解答】連接DB，DE，設DE交AC于M，連接MB，DF，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，

∴點B關于AC的對稱點為D，

∴FD＝FB，∴FE FB＝FE FD≥DE．

隻有當點F運動到點M時，取等号（兩點之間線段最短），

△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，

∴△ABD是等邊三角形．

∵E為AB的中點，∴DE⊥AB，

【點評】此題主要考查菱形是軸對稱圖形的性質，容易出現錯誤的地方是對點F的運動狀态不清楚，無法判斷什麼時候會使EF BF成為最小值．

4．如圖，在菱形ABCD中，AC=8cm，BD=6cm，第一次平移将菱形ABCD沿射線AC方向向右平移6cm得菱形A1B1C1D1，第二次平移将菱形A1B1C1D1沿射線AC方向向右平移6cm得菱形A2B2C2D2，…第n次平移将菱形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿射線AC方向向右平移6cm得菱形AnBnCnDn，（n＞2）

（1）填空：AC1=_____ ，AC2=______ ，ACn=____ ；

（2）若ACn的長為68cm，求n．

【分析】（1）根據平移的性質得出AA1=6cm，A1A2=6cm，A2C1=A1C1﹣A1A2=8﹣6=2，進而求出AC1和AC2的長，再得到一般性規律即可求出ACn的長；

（2）根據（1）中所求得出數字變化規律，進而得出ACn=（n 1）×6 2=68，求出n即可．

【解答】（1）∵AC=8cm，BD=6cm，第一次平移将菱形ABCD沿射線AC方向向右平移6cm得菱形A1B1C1D1，第二次平移将菱形A1B1C1D1沿射線AC方向向右平移6cm得菱形A2B2C2D2，

∴AA1=6cm，A1A2=6cm，A2C1=A1C1﹣A1A2=8﹣6=2，∴AC1=AA1 A1A2 A2C1=6 6 2=14，

∴AB2的長為：6 6 6 2=20，∴ACn=（n 1）×6 2=6n 8，

故答案為：14，20，6n 8；

（2）∵ACn=（n 1）×6 2，∴（n 1）×6 2=68，解得：n=10．

類型3 利用菱形的對稱性求面積

5．如圖，點F是菱形ABDC對角線BC上一動點，EF∥AB，GF∥AC，菱形兩條對角線BC和AD的長分别為2cm、5cm，當點F在BC上移動時，陰影面積會改變嗎？如果不變，請求出陰影部分的面積．

【解答】∵EF∥AB，GF∥AC，∴四邊形CGFE是平行四邊形，

∴CO=OF，OE=OG，CE=GF，∴△CEO≌△FGO．

∴陰影面積不會改變，且為菱形的面積的一半．S陰影=BC•AD=2.5．

6.某校的校園内有一個由兩個相同的正六邊形（邊長為2.5m）圍成的花壇，如圖中的陰影部分所示，校方先要将這個花壇在原有的基礎上擴建成一個菱形區域如圖所示，并在新擴充的部分種上草坪，則擴建後菱形區域的周長為（ ）

A．20m B．25m C．30m D．35m

【解答】如圖，∵花壇是由兩個相同的正六邊形圍成，

∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等邊三角形，

∴BG=GM=2.5（m），同理可證：AF=EF=2.5（m）

∴AB=BG GF AF=2.5×3=7.5（m），∴擴建後菱形區域的周長為7.5×4=30（m），

故選：C．

類型4 利用菱形的對稱性确定線段或角相等問題

7．如圖，四邊形ABCD是菱形，F是AB上一點，DF交AC于E，求證：∠AFD=∠CBE．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠BCE=∠DCE，BC=CD，AB∥CD，∴∠AFD=∠CDE，

在△BCE和△DCE中

∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE=∠CDE，

∵∠AFD=∠CDE，∴∠AFD=∠CBE．

8．已知：如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，點M，N分别在BC和CD上，且∠MAN=60°．

（1）求證：AM=AN；

（2）比較點M到直線AB的距離與點N到直線BC的距離，并證明你的結論．

【解答】（1）證明：如圖，連接AC．

∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，

∴∠CAB=∠CAD=∠ACB=∠ACD=60°，AB=BC=CD=AD，

∴△ABC、△ACD等式等邊三角形，∴∠B=60°，AB=AC，

∵∠BAC=∠MAN，∴∠BAM=∠CAN，

在△AMB和△ACN中，

∴△BAM≌△CAN，∴AM=AN．

（2）結論：點M到直線AB的距離與點N到直線BC的距離相等．

證明：作ME⊥AB，NF⊥CA，NH⊥BC，垂足分别為E、F、H．

∵∠BCD=120°，∴∠NCH=60°=∠NCF，∴NH=NF，

∵△BAM≌△CAN，∴S△ABM=S△ACN，∴1/2•AB•ME=1/2•AC•NF，

∵AB=AC，∴ME=NF，∴NF=ME，

∴點M到直線AB的距離與點N到直線BC的距離相等．

【方法點撥】本題考查菱形的性質、等邊三角形的判定和性質、角平分線的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正确尋找全等三角形，利用全等三角形對應邊上的高相等解決問題．

綜上所述，利用圖形的對稱性研究圖形的性質，再利用其性質可以探求、說明幾何題．在這方面多進行嘗試，對提高分析問題、解決問題的能力是大有裨益的．

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