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微積分三角函數求導公式

生活更新时间:2024-07-20 01:24:20

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第7 章三角函數的極限和導數本章主要内容:

三角函數在小數、大數以及其他變量值時的行為;
三角函數的導數;
簡諧運動.

7.1 三角函數的極限

考慮下面兩個極限, 唯一區别是, 左邊極限考察的是在 x 趨于 0 , 而右邊在 x 趨于無窮大取的極限. 也就是需要留意是在很小很小數, 還是很大很大的數上取得極限.

微積分三角函數求導公式（三角函數的極限和導數）1

7.1.1 小數的情況

事實表明, sin(x) 和 x 在 0 附近近似相等, 觀察下面 x 在 -1 和 1直接的圖形, 當 x 非常非常小的時候, sin(x) 近似等于 x , 那麼 sin(x)/x=1成立.

微積分三角函數求導公式（三角函數的極限和導數）2

微積分三角函數求導公式（三角函數的極限和導數）3

7.1.4 "其他的"情況

如果計算 x 趨于 a 的極限, 這裡 a≠0 , 這裡有一個解決的方法, 就是用 t=x-at=x-a 做替換, 将問題轉化為 t 趨近于 0 , 比如下面的例子:

微積分三角函數求導公式（三角函數的極限和導數）4

7.1.5 一個重要極限的證明

7.2 三角函數的導數

現在把所有三角函數以及反三角函數做個總結(公式自: 中文維基百科).

微積分三角函數求導公式（三角函數的極限和導數）6

反三角函數的導數:

微積分三角函數求導公式（三角函數的極限和導數）7

7.2.2 簡諧運動(Simple harmonic motion)

三角函數經常會用來描述彈簧的震蕩運動. 設 x 是彈簧振子在時刻 t 的位置, 取向上的方向作為正方向, 那麼描述 x 的方程大緻類似于x = r sin (ω t). 類似也可以用餘弦來代替, 因為兩者總是來回震蕩, 而這類運動就被稱為簡諧運動.

微積分三角函數求導公式（三角函數的極限和導數）8

(本章完)「予人玫瑰, 手留餘香」

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