畢達哥拉斯說：數統治着宇宙。伯克霍夫說：“整數的簡單構成，一直是使數學獲得新生的源泉。”在整個數學中，數論（對數的研究）分支是最“美”的，像一座長滿奇異花草的大花園。而對一些特殊數的探究，吸引着衆多的專家和數學愛好者用大量的精力去研究而樂此不疲。

下面介紹幾種特殊的自然數。

如果一個自然數等于除它自身以外的各個正因子之和，則這個數叫做完全數。完全數是被古人視為瑞祥的數，古希臘人在公元2世紀末已發現了四個完全數。最小的一個完全數是6=1 2 3。意大利人把6看成是屬于愛神維納斯的數，以象征美滿的婚姻。

在自然數裡，到底有多少完全數呢？有人作過統計，在1到40000000這麼多數裡，隻有5個完全數，它們是

6=1 2 3

28=1 2 4 7 14

496=1 2 4 8 16 31 62 124 248

8128=1 2 4 8 16 32 64 127 254 508 1016 2032 4064

還有一個完全數是3350336。可見完全數是非常稀少的。

從第四個完全數8128到第五個完全數33550336的發現經過了一千多年，這是因為第五個完全數要比第四個完全數大了4100多倍。這可能是曆經一千多年才艱難跨出一步的原因。

完全數還有一些鮮為人知的性質，如：

（1） 所有完全數都可以表達為2的一些連續整數次幂之和，如圖1，

圖1

（2） 除了6以外，其他完全數可表示為連續奇數的三次方之和，如圖2

圖2

如此完美的模式，難怪完全數如此的迷人，具有魅力，因此，完全數是極美的數。

（3）迄今為止，發現的完全數都是偶數，還沒有發現一個奇完全數，但也沒有證明奇完全數不存在。

（4）迄今為止，發現的完全數都具有以下的形式N=2^(n-1)( 2^n-1）（其中n與2^n-1都是素數）

若自然數M的全部正因子（去掉其本身）之和，恰為自然數N，而N的全部正因子（去掉其本身）之和恰為自然數M，則稱M、N為一對親和數。最簡單的一對親和數是220和284，把220的全部正約數（不包括220本身）加起來為

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110=284；

而把284的全部正約數（不包括284本身）加起來為1 2 4 71 142=220

想不到枯燥的數字之間也有這種“我中有您，您中有我”的親密無間的“相親數”。在畢達哥拉斯時代就知道有這一對親和數。當時人們認為隻有這一對親和數，一直延續了兩千多氣年，人們對此堅信不移。直到1636年皮勒發現并公布了第二對親和數17296和18416，這才破除了隻有一對親和數的迷信，也激發起了尋找更多親和數的熱情。

如今，人們已經發現了1200對親和數。電子計算機出現後，人們可以用高速度大容量的計算去探索更多的親和數。人們現在已知最大的一對親和數是111 448 537 712和118 853 793 424，要把它們的因數找出來再求和，推證它們之間的關系，沒有現代計算機工具的幫助是很困難的。

一個整數的平方稱為完全平方數，簡稱平方數。如：1、4、9、16、25、36、49、64、81、…… 都是平方數。在整數中除了素數外，最引人注目的就是平方數。平方數在正整數中比素數更加稀疏，且具有規律性。不超過正整數n的平方數（不算0）的個數是根号n的整數部分。

在哪些情況下可以出現完全平方數？

（1）前n個奇數的和一定是平方數。

（2）前n個正整數的和有可能是平方數，如1 2 3 … 8=6^2,1 2 3 … 49=35^2，……這種和數中包含的平方數有無窮多個。

（3） 四個相鄰正整數的乘積與1的和一定是完全平方數，

例如1·2·3·4 1=52,2·3·4·5 1=112,3·4·5·6 1=182,5·6·7·8 1=292。

一般地有，如圖3所示

圖3

多邊形數是這樣的數，它的形狀與多邊形的形狀有着密切的關系，例如（圖4~圖6）：

圖4

圖5

圖6

我們把滿足不定方程a^2 b^2=c^2的正整數a、b、c稱為勾股弦數。

我國古代數學書《周髀算經》中，就已有“勾三、股四、弦五”的提法，即3^2 4^2=5^2。

在劉徽的《九章算術注》中，又記錄了5^2 12^2=13^2，

8^2 15^2=17^2,7^2 24^2=25^2,20^2 21^2=29^2，……許多組整數解。

古希臘數學家畢達哥拉斯指出，當n是奇數時，n, (n^2-1)/2，(n^2 1)/2是勾股弦數。

現在大家都知道，勾股弦數是無窮無盡的，而且許多的勾股弦數都能由下面的公式（見圖7）

圖7

勾股弦數正好滿足直角三角形三邊關系，即勾股定理。

是否有滿足a^2 b^2 c^2=d^2的正整數解a、b、c、d呢？

回答是肯定的。同時想要舉出這樣的數組并不困難。隻需将兩個勾股數相加，便可得到，如3^2 4^2=5^2和5^2 12^2=13^2相加即得3^2 4^2 12^2=13^2，又如8^2 15^2=17^2和9^2 12^2=15^2相加即得8^2 9^2 12^2=17^2。

（1）魔術數：如果一個數接寫在另一個數後面，所得到的新數能被這個數整除，則這個數稱為魔術數。如2接寫在37後面得到372，能被數2整除，數2是一個魔術數。

（2）缺8數：如今人們把“8”與“發”劃上等号，指對它的青睐。然而，有許多人竟在研究一個缺8數12345679。這個數有許多有趣的性質：例如（見圖8）

圖8

缺8數還有許多有趣的性質等待人們去發掘。

（3）史密斯數：美國數學家阿爾伯特·威蘭斯基在同他姐夫史密斯交談時，發現他的電話号碼4937775是幾個素數的積3×5×5×65837表示的合數。這些數之和3 5 5 6 5 8 3 7=42，而這個數各位數字之和4 9 3 7 7 7 5=42也是42.我們稱具有這種性質的數為史密斯數。

圖9

在奇妙的數的世界裡遨遊，不但能開闊眼界，還能啟迪人的智慧。

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