一元二次函數方程不等式必修幾?2.3　二次函數與一元二次方程、不等式，我來為大家科普一下關于一元二次函數方程不等式必修幾?下面希望有你要的答案，我們一起來看看吧!

一元二次函數方程不等式必修幾

2.3　二次函數與一元二次方程、不等式

1．一元二次不等式的概念

隻含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式．

2．一元二次不等式的一般形式

(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．

(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．

(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．

(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．

思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式嗎？

提示：此不等式含有兩個變量，根據一元二次不等式的定義，可知不是一元二次不等式．

3．一元二次不等式的解與解集

使一元二次不等式成立的未知數的值，叫做這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集．

思考2：類比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一個元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含義是什麼？

提示：不等式x2>1的解集為{x|x<－1或x>1}，該集合中每一個元素都是不等式的解，即不等式的每一個解均使不等式成立．

4．三個“二次”的關系

思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則實數a應滿足什麼條件？

提示：結合二次函數圖象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集為R.

1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集為(　　)

A.

B.

C.

D．R

C　[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－.]

2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集為(　　)

A.　 B.

C．∅ D．R

D　[因為Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集為R.]

3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．

{x|x>5或x<－1}　[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因為x2－4x－5＝0的兩根為－1,5，

故x2－4x－5>0的解集為{x|x<－1或x>5}．]

4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集為________．

∅　[原不等式變形為3x2－5x＋4<0.因為Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0無解．

由函數y＝3x2－5x＋4的圖象可知，3x2－5x＋4<0的解集為∅.]

一元二次不等式的解法

【例1】　解下列不等式：

(1)2x2＋7x＋3>0；

(2)－4x2＋18x－≥0；

(3)－2x2＋3x－2<0.

[解]　(1)因為Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個不等實根x1＝－3，x2＝－.又二次函數y＝2x2＋7x＋3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為.

(2)原不等式可化為2≤0，所以原不等式的解集為.

(3)原不等式可化為2x2－3x＋2>0，因為Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實根，又二次函數y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.

解不含參數的一元二次不等式的一般步驟

(1)化标準.通過對不等式的變形，使不等式右側為0，使二次項系數為正.

(2)判别式.對不等式左側因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判别式.

(3)求實根.求出相應的一元二次方程的根或根據判别式說明方程有無實根.

(4)畫草圖.根據一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數的草圖.

(5)寫解集.根據圖象寫出不等式的解集.

1．解下列不等式

(1)2x2－3x－2>0；

(2)x2－4x＋4>0；

(3)－x2＋2x－3<0；

(4)－3x2＋5x－2>0.

[解]　(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，

∴不等式2x2－3x－2>0的解集為

.

(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，

∴不等式x2－4x＋4>0的解集為.

(3)原不等式可化為x2－2x＋3>0，

由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0無解，

∴不等式－x2＋2x－3<0的解集為R.

(4)原不等式可化為3x2－5x＋2<0，

由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的兩根為x1＝，x2＝1，

∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集為.

含參數的一元二次不等式的解法

【例2】　解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.

[思路點撥]　①對于二次項的系數a是否分a＝0，a<0，a>0三類進行讨論？②當a≠0時，是否還要比較兩根的大小？

[解]　當a＝0時，原不等式可化為x>1.

當a≠0時，原不等式可化為(ax－1)(x－1)<0.

當a<0時，不等式可化為(x－1)>0，

∵<1，∴x<或x>1.

當a>0時，原不等式可化為(x－1)<0.

若<1，即a>1，則<x<1；

若＝1，即a＝1，則x∈∅；

若>1，即0<a<1，則1<x<.

綜上所述，當a<0時，原不等式的解集為；當a＝0時，原不等式的解集為{x|x>1}；當0<a<1時，原不等式的解集為；當a＝1時，原不等式的解集為∅；當a>1時，原不等式的解集為.

解含參數的一元二次不等式的一般步驟

提醒：對參數分類讨論的每一種情況是相互獨立的一元二次不等式的解集，不能合并．

2．解關于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．

[解]　原不等式移項得ax2＋(a－2)x－2≥0，

化簡為(x＋1)(ax－2)≥0.

∵a<0，∴(x＋1)≤0.

當－2<a<0時，≤x≤－1；

當a＝－2時，x＝－1；

當a<－2時，－1≤x≤.

綜上所述，

當－2<a<0時，解集為；

當a＝－2時，解集為{x|x＝－1}；

當a<－2時，解集為.

三個“二次”的關系

[探究問題]

1．利用函數y＝x2－2x－3的圖象說明當y>0、y<0、y＝0時x的取值集合分别是什麼？這說明二次函數與二次方程、二次不等式有何關系？

提示：y＝x2－2x－3的圖象如圖所示．

函數y＝x2－2x－3的值滿足y>0時自變量x組成的集合，亦即二次函數y＝x2－2x－3的圖象在x軸上方時點的橫坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，滿足y<0時x的取值集合為{x|－1<x<3}，滿足y＝0時x的取值集合，亦即y＝x2－2x－3圖象與x軸交點橫坐标組成的集合{－1,3}．這說明：

方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一種特殊情況，它們之間是一種包含關系，也就是當y＝0時，函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就轉化為方程，當y>0或y<0時，就轉化為一元二次不等式．

2．方程x2－2x－3＝0與不等式x2－2x－3>0的解集分别是什麼？觀察結果你發現什麼問題？這又說明什麼？

提示：方程x2－2x－3＝0的解集為{－1,3}．

不等式x2－2x－3>0的解集為{x|x<－1或x>3}，觀察發現不等式x2－2x－3>0解集的端點值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．

3．設一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别為{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，則x1＋x2，x1x2為何值？

提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别為{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，則即不等式的解集的端點值是相應方程的根．

【例3】　已知關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}，求關于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

[思路點撥]　→→→→

[解]　法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數的關系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為.

法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a<0，故原不等式的解集為.

1．(變結論)本例中的條件不變，求關于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．

[解]　由根與系數的關系知＝－5，＝6且a<0.

∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，

即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.

解之得.

2．(變條件)若将本例中的條件“關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}變為“關于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是.求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

[解]　法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集為知a＜0.又×2＝＜0，則c＞0.

又－，2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，

∴－＝，∴＝－.

又＝－，∴b＝－a，c＝－a，

∴不等式變為x2＋x＋a＜0，

即2ax2＋5ax－3a＞0.

又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，

所求不等式的解集為.

法二：由已知得a＜0 且＋2＝－，×2＝知c＞0，

設方程cx2＋bx＋a＝0的兩根分别為x1，x2，

則x1＋x2＝－，x1·x2＝，

其中＝＝－，

－＝＝＝＋＝－，

∴x1＝＝－3，x2＝.

∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集為.

已知以a，b，c為參數的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循：

(1)根據解集來判斷二次項系數的符号；

(2)根據根與系數的關系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；

(3)約去 a，将不等式化為具體的一元二次不等式求解.

1．解一元二次不等式的常見方法

(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數的關系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：

①化不等式為标準形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；

②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并畫出對應函數y＝ax2＋bx＋c圖象的簡圖；

③由圖象得出不等式的解集．

(2)代數法：将所給不等式化為一般式後借助分解因式或配方求解．

當m<n時，若(x－m)(x－n)＞0，則可得{x|x＞n或x＜m}；

若(x－m)(x－n)＜0，則可得{x|m＜x＜n}．

有口訣如下：大于取兩邊，小于取中間．

2．含參數的一元二次型的不等式

在解含參數的一元二次型的不等式時，往往要對參數進行分類讨論，為了做到分類“不重不漏”，讨論需從如下三個方面進行考慮

(1)關于不等式類型的讨論：二次項系數a＞0，a＜0，a＝0.

(2)關于不等式對應的方程根的讨論：兩根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ<0)．

(3)關于不等式對應的方程根的大小的讨論：x1＞x2，

x1＝x2，x1＜x2.

3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函數的開口及與x軸的交點坐标.

1．思考辨析

(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　)

(2)若a>0，則一元二次不等式ax2＋1>0無解．(　　)

(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為x1，x2(x1<x2)，則一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集為{x|x1<x<x2}．(　　)

(4)不等式x2－2x＋3>0的解集為R.(　　)

[提示]　(1)錯誤．當m＝0時，是一元一次不等式；當m≠0時，是一元二次不等式．

(2)錯誤．因為a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集為R.

(3)錯誤．當a>0時，ax2＋bx＋c<0的解集為{x|x1<x<x2}，否則不成立．

(4)正确．因為Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集為R.

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　

2．設a<－1，則關于x的不等式a(x－a)<0的解集為________．

　[因為a<－1，所以a(x－a)·<0⇔(x－a)·>0.又a<－1，所以>a，所以x>或x<a.]

3．已知關于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，則ax2－bx＋c>0的解集為________．

　[由題意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根且a<0，

故解得a＝c，b＝a.

所以不等式ax2－bx＋c>0，即為2x2－5x＋2<0，

解得<x<2，即不等式ax2－bx＋c>0的解集為.]

4．解下列不等式：

(1)x(7－x)≥12；

(2)x2>2(x－1)．

[解]　(1)原不等式可化為x2－7x＋12≤0，因為方程x2－7x＋12＝0的兩根為x1＝3，x2＝4，

所以原不等式的解集為{x|3≤x≤4}．

(2)原不等式可以化為x2－2x＋2>0，

因為判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0無實根，而抛物線y＝x2－2x＋2的圖象開口向上，

所以原不等式的解集為R.

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