#頭條創作挑戰賽#

收斂數列有不少充要條件，但是老黃敢打包票，其中被用得最少的，是“下極限和上極限相等”的充要條件。因為實際應用到的機會很少，不過對于愛好數學探究的小夥伴來說，這類問題往往更容易引起興趣。

定理：lim(n→∞)xn=A的充要條件是： ▁lim(n→∞)xn=(lim) ̅(n→∞)xn=A.

就是說，上下極限存在且相等，是極限存在的充要條件。而且極限等于上下極限。這個定理似乎是理所當然的，但數學這玩意，除非公理，否則都需要證明，絕對不允許想當然。下面老黃就用實數完備性的知識來對它進行一個嚴謹的證明。

證明：[必要性]若lim(n→∞)xn=A, 則對∀ε>0，存在N>0，使得當n>N時, 就有|xn-A|<ε.【先證必要性，即當數列收斂于A時，證明上極限和下極限存在卻都等于A。首先存在是一定的，因為極限存在，就是有聚點，如果聚點唯一，那麼它就既是最大聚點，也是最小聚點，從而上極限和下極限都存在，且都等于A。現在的關鍵是證明數列有唯一的聚點】

設B≠A是{xn}的一個聚點，【用反證法，假設數列有兩個聚點，那麼就存在不相等的上、下極限，然後證明它不成立】

取ε0=|A-B|/2>0, 則存在N0>0, 使得當n>N0時, 就有|xn-A|<ε0.【取ε0等于A和B的距離的一半，這樣做可以使A的ε0鄰域和B的ε0鄰域，至多有一個交點。上面說了，任意的ε鄰域都存在正整數N，那麼ε0自然也有對應的正整數N0，這裡通常要給N0一個關于ε0的表達式，但老黃思慮再三，覺得并不需要，因為N一定是有限值，所以N0肯定也是有限值。N0之後就有無窮多個項，在A的ε0鄰域上。這裡N0沒有必要和ε0相關，總之它是存在的就是了，如果不夠大，繼續取得大一點就可以了，反正它始終是一個有限值】

即U(B,ε0)上最多有{xn}的N0個項，矛盾！【因為N0以後的項全在A的鄰域上，而B的領域和A的領域最多有一個交點，使得B的鄰域隻有有限多個項，與聚點的定義矛盾，所以B不是數列的聚點】

∴A是{xn}唯一的聚點，

從而有▁lim(n→∞)xn=(lim) ̅(n→∞)xn=A.【必要性得證】

[充分性]若▁lim(n→∞)xn=(lim) ̅(n→∞)xn=A, 則A是唯一聚點, 且{xn}有界.【再證充分性，即數列的上、下極限存在且相等時，記為A，證明數列收斂于A】

若存在ε0>0, 使U(A,ε0)外有{xn}的無限多個項，記為【僅當A的鄰域外仍有數列的無限多個項，數列才有可能不收斂，使用的仍是反證法】

x_(n1 ), x_(n2 ),…, x_(nk ), …, 則{x_(nk )}有界,【原數列有界，所以子列也有界，且這個子列是一個無限數列 】

由“有無限有界數列有聚點”知, {x_(nk)}有聚點B≠A.

B也是{xn}的聚點. 矛盾!

∴∀ε>0，在U(A, ε)外隻有{xn}的有限多個項.【這是數列收斂的鄰域充要條件】

∴lim(n→∞)xn=A.

下圖可能可以幫你更好地理解上極限、下極限和收斂數列的關系：

很多人對數列極限、聚點的誤解來自，與n表示的自然數列的混淆，即數列的極限問題，是在縱軸上探究的，而不是在橫軸上探究的，橫軸隻是給定了一個定義域而已。圖中可以看到，在左側的點，不論多麼離散，都不會改變數列極限和聚點的實質。 關鍵是在趨于無窮大的區間上，A0和A1是數列的兩個聚點。如果隻有這兩個聚點，那麼A1就是上極限，A0就是下極限。或者A1，A0之間還有其它聚點，它們仍是上下極限。而當A1=A2時，很明顯的，這個聚點就是函數的極限。你看明白了嗎？

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