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被數學扼住咽喉

教育 更新时间:2024-07-18 00:16:57

被數學扼住咽喉?如何證明√2是有理數?數學老師在回答這個問題的時候,耍了一個小把戲把√2藏了起來,現在小編就來說說關于被數學扼住咽喉?下面内容希望能幫助到你,我們來一起看看吧!

被數學扼住咽喉(被數學老師藏起來的數字)1

被數學扼住咽喉

如何證明√2是有理數?數學老師在回答這個問題的時候,耍了一個小把戲把√2藏了起來。

數學老師先是假定√2是個有理數,√2=q/p。數學老師的把戲開始了:

  • q/p是互質的整數。
  • p√2=q,兩邊平方得到2p=q²。
  • 容易知道p和q都是偶數,于是p和q有公因數2。
  • 這與假設矛盾,√2不是有理數。

如果√2是有理數,p√2=q會是一組整數。這組整數中,可能有在3和4或4和5之間的神秘整數,它們可能既不是奇數也不是偶數。當老師說q/p是互質的時候,把這些神秘的整數給藏起來了。這樣的√2自然不會是有理數了。

那麼如何證明√2不是有理數呢?這裡要用到一個常識(公理)—0是最小的自然數。把這個公理擴展一下:在任意一組正整數中,必然存在一個最小的正整數。

  • 假設√2=q/p(p,q為正整數)
  • p√2=q是一組正整數
  • 令s=t√2是其中最小的正整數
  • 下面試着構造一個比s更小的正整數
  • s√2-s=s√2-t√2=(s-t)√2(s√2=2t和s都是整數,所以該式也是整數)
  • s√2-s=s(√2-1),因√2>1可知該式是一個正整數
  • s√2-s<s,因為√2<2
  • 至此我們找到了一個比是s更小的正整數,假設不成立了。
  • 故√2不是有理數

上面的證明隻用到了自然數公理系裡的公理,它比數學老師的證明方法要嚴謹得多。

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