昵稱為“蘇”的讀者朋友問到了下面的問題.

請問左老師，你覺得y=|x|算不算有極小值？

蘇，

這個絕對值函數y=|x|的圖象是一個V字形，如下圖.

你的問題是，函數y=|x|是否在x=0處取得極小值？

要回答這個問題，就要找到評判的标準——函數極值的定義.

從圖象中明顯看出，在x=0附近都有f(x)>f(0).根據定義，函數y=|x|在x=0處取得極小值f(0).

所以，用圖象法來判斷極值其實是最靠譜的.

那你會問我：本題可否使用導數法來判斷極值呢？

答案是：不可以.

因為函數y=|x|在x=0處不可導.

我寫過函數的連續與可導，

其中談到函數（首先是連續）可導的條件是：左導數=右導數.

而對于這個絕對值函數y=|x|，左導數=-1；右導數=1，它們不相等.所以，函數y=|x|在x=0處不可導.

既然不可導，當然也不可能求出該點的導數值了.

但是不可導的點也可能是極值點.

下面講兩個标準、四個注意.

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對于可導函數，用導數法判斷極值

中學教材裡的題目，多數以可導函數為素材.所以，用導數法求極值是我們最通行的做法.

但是，對于可導函數f(x)，即使在某點處f'(x)=0，該點也可能不是極值點.比如f(x)=x^3，滿足f'(0)=0，但0不是該函數的極值點.

注意1：對于可導函數f(x)，f'(x0)=0是函數f(x)在點x0處取得極值的必要不充分條件.

上面所舉的三次函數的例子就是證明.

注意2：對于可導函數f(x)，f'(x0)=0，且在x0左側與右側，f'(x)的符号相反是函數f(x)在點x0處取得極值的充要條件.

所以，我們在求出導函數的零點之後，一定要判斷在該零點的左右兩側，導函數的符号是否發生改變.

2

對于不可導函數，用圖象法判斷極值

其實，圖象法判斷極值的方法适應面非常廣.

隻不過因為不可導函數不能用導數法，就隻能依靠圖象法了.

圖象法比較直觀，不必多說.

要多說幾句的是：不可導點可能是極值點，也可能不是極值點.

比如，下面兩個栗子.

y=|x|在x=0處不可導，但x=0是極小值點；

y=x|x|在x=0處不可導，在x=0處也取不到極值.

下面總結注意3和注意4.

注意3：不可導點可能是極值點，也可能不是極值點.

注意4：對于可導未知的函數f(x)，f'(x0)=0是函數f(x)在點x0處取得極值的既不充分也不必要條件.

祝開心.

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