在講确界存在定理前，我們先說說最大數與最小數，當然了，以後所有的内容都是建立在實數具有完備性的基礎之上的，可以說它就是數學分析的基礎，所以這部分一定要吃透，重中之重。

最大數與最小數

其實說到最大數與最小數，我想大家都對它們有一個模糊的概念，都知道最大數與最小數就是一個數集的最大的數與最小的數，但是不是所有數集都有最大的數與最小的數呢？比如集合：A=｛x| 0≤x<1｝，稍微停留思考一下，有沒有最大數或者最小數。

其實很簡單，用數學語言就是，設S是一個非空數集，如果∃ζ∈S，使得對于∀ x∈S，都有x≤ζ，那麼就稱ζ是數集S的最大數。如果 ∃η∈S，使得對于∀ x∈S，都有x≥η，則稱η為數集S的最小數。

有了上面的數學語言的描述，我想大家應該可以得到上面問題的答案，并證明自己的結論了吧？

結論就是A中無最大數，但有最小數，最小數就不用說了，0就是最小數，下面證沒有最大數：

證：如果A中有最大數，不防記最大數為α吧，且α∈[0，1)，那麼可知，α<(α 1)/2<1，且(α 1)/2∈A，但是卻大于最大數α，這與α是數集A的最大數矛盾，因此數集A無最大數，證畢。

有了最大數與最小數概念，我們下面就開始介紹非空數集的确界存在定理。但是呢，在介紹确界存在定理之前，還有向大家介紹一對雙胞胎，總稱名字叫做界，他們分别叫上界與下界。下面還是用數學語言來描述一下。

上界與下界：

設S是一個非空數集，如果 ∃M∈R，使得對于∀x∈S，都有x≤M，則稱M是數集S的一個上界，如果∃N∈R，使得對于∀x∈S，都有x≥N，則稱N是數集S的一個下界。

注意：數集S的上界（下界）有無數個，隻要比數集S中任一個元素都大（小），它就是數集S的上界（下界）。

數集S既有上界又有下界，就叫數集S是有界集。即∃X∈R，使得對于∀x∈S，有|x|≤X。

有了上面的概念，那麼就自然而然會想到，這些界中，有沒有一個最小上界或最大下界呢？就比如上面說過的數集A=｛x| 0≤x<1｝，很顯然數集A是有界的，它存在上界與下界，那麼它有沒有最小上界與最大下界呢？很顯然，各位肯定都看出來了，有，最小上界顯然是1，最大下界是0，那麼是不是所有有上界的數集都有最小上界，所有有下界的數集都有最大上界呢？帶着這樣的疑問，我們展開下面的确界存在定理的講解。

确界存在定理：

設數集S有上界，記U為數集S的所有上界構成的集合，很顯然U無最大數，下面會證明，U一定有最小數，這個最小數就稱為數集S的上确界，記為sup S。

有了确界的定義，我們可以得到，上确界應該具有這樣的兩個性質：∀ ∃

①、記數集S的上确界為ξ，對于∀x∈S，有x≤ξ。

②、對于∀ε>0，∃x∈S，使得x≥ξ-ε。

對于第二條性質，也就是說，不論（不論給定的ε多麼小）多麼接近确界ξ，在數集S中總能找到元素x，使之介于被要求的範圍内。

有了上确界定義及性質，那麼很自然的就可以得到下确界的定義跟性質了。

設數集S有下界，記U為數集S的所有下界構成的集合，很顯然U無最小數，下面會證明，U一定有最大數，這個最大數就稱為數集S的下确界，記為inf S。

我們同樣可以得到下确界的兩條性質：

①、記數集S的下确界為η，對于∀x∈S，有x≥η。

②、對于∀ε>0，∃x∈S，使得x≤η-ε。

由此我們引出一個定理，确界存在定理。

确界存在定理：

非空有上界的數集必有上确界，非空有下界的數集必有下确界。

分析與證明：

分析：下面我們将開始證明确界存在定理，我們不防先來分析一下，不防設數集S有上界，我們可以把數集S的全部上界構成一個集合U，這樣就構成了一個劃分，這個劃分确定的數就是數集S的上界，這樣就可以運用戴德金定理來證明了。

戴德金定理：設A/B是實數集R的一個切割(A/B=R)，則要麼數集A有最大數，要麼數集B有最小數。

證：設非空數集S有上界，令數集S所有上界構成的集合記為U。

U={x| x≥t，∀t∈S}，在令U的補集為Û，

Û={x| x∉U}，這樣就構成了實數集R的一個切割，對于∀x∈Û，則x不是數集S上界，那麼我們可以知道，在數集S中必定存在t，有t>x，t∈S，再令x'=(t x)/2，因有t>x，從而可知x<x'，而x'<t，因此知x'∈Û，由x<x'與x'∈Û，在由x的任意性，知數集Û無最大值，而集合U與Û構成實數集R的一個切割，因此由戴德金定理知，數集Û中無最大值，那麼數集U必有最小值，由此得知數集S的上界構成的集合有最小值，即數集S有最小上界，即上确界。證畢，

對于下确界，可類似證得。

有了确界存在定理，我們下一篇将介紹聚點定理，實數系連續性幾大定理極其重要，所以要一個一個去讨論。

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