一片雪花的周長和地球的直徑哪個更長？這看似是一個顯而易見的問題。但是，它其實蘊含了一個深刻的數學原理——分形幾何。

1英國的海岸線有多長？

1967年，美國數學家曼德布羅在美國權威期刊《科學》上發表了一篇論文，題目是《英國的海岸線有多長》。很多年以前，人們就發現了一個奇怪的現象：不同國家的測量機構對英國的海岸線測量數值相差很大，有人提出：這是因為在測量過程中“尺子”的大小不同造成的。曼德布羅重新研究了這個問題，得出了一個驚人的結論：英國海岸線的長度可以是無限的。

為什麼這麼說呢？我們知道，英國的海岸線非常崎岖，如果我們用衛星進行測量，相當于用一個很巨大的尺子，這樣就會忽略海岸線上很多崎岖的細節，測量出的結果就比較小。但是如果我們讓一個人沿着海岸線走一圈，他就會走過海邊的礁石和沙灘，穿越海邊的叢林，會發現很多衛星上看不到的細節，測量的結果就會變大。假如我們讓一隻螞蟻爬過英國的海岸線，因為螞蟻的身體更小，它就會發現更多人觀察不到的細節，例如海邊的一塊小石頭，一個易拉罐，甚至一粒沙子，造成測量的結果更大。

不同的尺子，測量結果不同

于是，假如我們讓尺子無限縮小，英國的海岸線長度就會變成無窮大。1975年，曼德布羅提出了分形“分形”這個詞，來描述這種神奇的問題。

2科赫雪花

其實，曼德布羅并不是最早研究分形幾何的數學家。比他早100年的數學家康托爾就已經研究過類似的“康托爾集合”。在這一百年中，數學家們提出過各種各樣的分形幾何圖形，其中最為著名的是數學家科赫提出的“科赫雪花。”

1904年，瑞典數學家科赫提出了一種圖形：将一個正三角形的每條邊平分為三份，再以每條邊中間的一份為邊，向外做正三角形，這個過程稱為一次叠代。

一次叠代

經過一次叠代，正三角形變為了12條邊。我們再将每條邊平分成三份，向外做更小的正三角形，稱為二次叠代。然後不停地重複這個過程，直到無限次叠代，就形成了科赫雪花。

2次、3次叠代

科赫雪花的周長有多大呢？設最開始的三角形邊長為1，經過一次叠代，每條邊的邊長都變為了原來的4/3，所以周長會變為原來的4/3。經過N次叠代，邊長就變為

當叠代次數無窮多，N無限大時，科赫雪花的周長就會變為無窮大——這是因為它的邊非常的崎岖。相比來講，地球雖然看起來比雪花大很多，但是它的直徑卻是一個有限值——大約12800km。雪花的周長比地球直徑還要大。

地球直徑

科赫雪花的周長是無限長，但是面積是有限的——這是顯而易見的，因為可以用一個圓形把雪花罩住，所以雪花的面積小于圓形的面積。

科赫雪花面積是有限的

具體來講：最初的正三角形有三條邊，叠代時每一條邊都會變為4條邊，所以經過N-1次叠代之後總邊數為

進行第N次叠代時，雪花的每條邊都會向外凸起，形成新的小三角形。設最初的三角形面積為1，每次叠代構造的小三角形邊長為原來三角形的1/3，面積是原來三角形的1/9，所以進行第N次叠代時，生成的每個小三角形面積為：

所以，第N次叠代增加的所有小三角總面積為：

于是經過無限次叠代，可以利用等比數列求和得到雪花的總面積為

總面積比原來增加了60%。

3謝爾賓斯基地毯

除了科赫雪花，還有一種比較有名的分形結構——謝爾賓斯基地毯。它是由波蘭數學家謝爾賓斯基在1916年提出的。

謝爾賓斯基地毯的構造方法是：将一個正方形均分為9個小正方形，再将中間的正方形去掉，稱為一次叠代。然後對餘下的8個小正方形做同樣操作，直到無限次。

構造謝爾賓斯基地毯

這個圖形看起來無限镂空，我們很容易計算它的面積：每次叠代時，去掉的黑色部分都占白色部分面積的1/9，所以餘下白色面積的 8/9。設最初白色正方形面積為1，經過N次叠代之後剩餘的白色面積為

我們發現，隻要叠代次數無窮多，這張地毯的面積是趨近于0的，這和科赫雪花周長趨向于無窮大有異曲同工之妙。

4自相似性

分形結構最大的特點是自相似性：當我們拿出圖形的一部分時，它與整體的形狀完全一樣，隻是大小不同。例如，我們把謝爾賓斯基地毯右上角的小方塊拿出來，它和整體是相似的。再從其中拿出更小的方塊，依然和整體是相似的。

謝爾賓斯基地毯自相似性

同樣，我們可以把科赫雪花不停地放大、再放大，無論多小的一小段，雪花都依然保持了和原來一模一樣的崎岖結構。

科赫雪花自相似性

5分形圖案的維度

我們知道：直線是1維的，平面是2維的，空間是3維的，這稱為拓撲維度。不過要表示分形圖案的維度，我們需要用到另一個概念——豪斯多夫維度，它是德國數學家豪斯多夫在1918年提出的，所描述的剛好是自相似圖形的特點。

豪斯多夫維度的定義是：如果能把一個圖形按照1：m的比例分割，最後分出n份，那麼豪斯多夫維度就是

比如，将一條線段分成按照1：2的比例分割，就能分割成2份。于是線段的豪斯多夫維度是log22=1；把一個正方形按照1：2的比例分割，就能分割成4份，所以正方形的豪斯多夫維度是log24=2；把一個立方體按照1：2的比例分割，就能分割成8份，立方體的豪斯多夫維度是log28=3。

分割圖形

按照這樣的規律，我們可以計算出科赫雪花和謝爾賓斯基地毯的維度。科赫雪花每次叠代時相似比為1：3，而且分出了4份，所以豪斯多夫維度為log34=1.26；謝爾賓斯基地毯中的每一小塊與全體的相似比為1：3，每張地毯可以分出8個小塊，因此豪斯多夫維度是log38=1.89。

分形曲線的維度居然不是整數，真是匪夷所思！

科學家們還發現：現實生活中小到一片葉子，大到一個星球，它的表面都是崎岖不平的。曾經，我們研究的幾何學都是以光滑的曲線和平面為基礎，研究分形結構有助于我們更好的認識真實的世界。

菜花的分形結構

藝術家們還構造出了許許多多的分形結構，給我們一種深邃之美。

分形藝術

佛家說：一花一世界，一葉一菩提。分形結構正是如此：無論多麼細微的部分，總是保留着無限精彩的世界。

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