在我們剛學曲線運動的時候，我們很多同學對關聯速度模型不是很理解，今天我們就來聊一聊關聯模型。

什麼叫關聯速度模型，所謂關聯模型，就是兩個物體通過繩子或杆子或相互接觸從而速度發生聯系，去求兩者速度之間的關系。

一、通過繩子關聯

繩子不可伸長，所以繩子兩端沿着繩子的速度是相等的。

１、當繩子方向與物體運動方向在一條直線上時，則兩物體的速度相等，

如上圖，繩子與木塊運動方向共線共線，所以ＶA= VB

２、當繩子與物體運動方向不在一條直線上時，需要将物體速度分解到沿繩子方向，

例１、如圖，人以速度Ｖ人通過繩子使船靠岸，求在如圖所示位置時的船與人之間的速度關系？

船的運動方向是水平的，不沿繩子，則船速不等于繩子速度。

這種情況下，常見方法有兩種：

１、 微元法：取很小的時間元t，在這時間元内認為船勻速運動。

取ＦＡ=ＦＢ，因為t很小，所以認為ＢＡ垂直于ＦＣ，

　　　∵ＡＣ=Ｖ人t，ＢＣ＝Ｖ船t，

　　　∴在ΔＢＡＣ中，ＡＣ=ＢＣsinθ，

　　　∴有Ｖ人＝Ｖ船cosθ

２、分解法：（這種方法比上面的簡單且實用，請大家牢記）

合速度：船的實際的運動方向（相對于地面的速度方向）

兩個分速度：一個沿着繩子方向，一個垂直于繩子方向。

如下圖，小船可以看成是一個半徑變化的圓周運動，所以速度有沿切線方向的分速度，即垂直于繩子方向。

如上右圖在ΔＡＢＣ中Ｖ＝Ｖ船cosθ

例２、Ａ小車通過繩子拉動Ｂ小車，當如圖所示的位置時，求兩車速度之間的關系？

解析：因為兩車的速度方向都與繩子不共線，所以都需要分解。

通過Ａ車求沿繩子分速度：

Ｖ繩子＝ＶＡcosβ

通過Ｂ車求沿繩子分速度：

V繩子＝ＶＢcosα

所以有：ＶＡcosα=ＶＢcosβ

二、通過杆子關聯

因為杆子和繩子一樣不能伸長，所以杆子關聯與繩子關聯是一樣的。

合速度：相對于地面的實際運動。

兩個分運動：一個沿着杆子，一個垂直于杆子。

合速度與分速度滿足平行四邊形法則。

例３、如圖所示，兩小球通過杆子相連，當下滑到如圖位置時杆子與堅直牆之間的夾角為θ，求兩小球的速度關系？

分别求出ＡＢ兩球與杆子的速度關系。

通過Ａ球：Ｖ杆子＝ＶＡcosθ

通過Ｂ球：Ｖ杆子＝ＶＢsinθ

所以有　ＶＡ＝ＶＢtanθ

例４、如圖當圓柱向右以速度Ｖ勻速運動到所示位置時，求Ｂ杆向上運動的速度？

【解析】當圓柱向右運動時，半徑ＯＡ相當于杆子，即相當于Ｏ、Ａ處各有一物體，則：

通過Ｏ求沿着半徑ＯＡ的分速度：ＶＯＡ＝Ｖsinθ

通過Ａ求沿着半徑ＯＡ的分速度：ＶＯＡ＝ＶB cosθ

∴ＶB =Vtanθ

例５：如下圖，Ａ、Ｄ兩小球用杆子連接在圓環内自由下滑，求兩小球的速度關系？

Ａ、Ｄ兩球都做圓周運動，所以合速度沿切線方向，分别沿杆和垂直于杆分解速度。

通過Ａ球求沿杆子的分速度：

Ｖ杆＝ＶＡsinθ

通過D求沿着杆子的分速度：

Ｖ杆＝ＶD sinθ

∴ＶＡ=ＶD (這個大家可以當結論記住)

三、面接觸關聯

因為兩物體接觸沒有分開，所以與接觸面垂直的方向上速度相等。

例６：用鉸鍊固定的杆子一端連一小球，最初球靠在可自由移動的木箱上，現讓箱子以速度Ｖ向右勻速，當杆子與堅直方向的夾角為θ時，小球的速度為多少？

【解析】小球與箱子接觸，所以垂直于箱子的方向的速度相等，

箱子的速度向右本身就垂直接觸面，因此不需要分解。小球做圓周運動，速度沿切線方向，所以需要分解

在Δabc中ac的水平分速度ＶＸ=Ｖ球cosθ=Ｖ箱子

例７、如圖箱子以Ｖ勻速運動，杆長為２Ｌ，當Ｐ為杆子中點時，求球的速度？

【解析】此題是點線接觸則垂直于杆子方向（綠線方向）的速度相等，設Ｐ點速度為ＶＰ，此時箱子速度分解為垂直杆子方向和沿杆子方向如上圖

ＶＰ＝Ｖ箱子sinθ

Ｖ球＝２ＶP

例８、如圖，長為L 的直棒一端可繞固定軸O 在豎直平面内轉動，另一端擱在升降平台上，平台以速度v 勻速上升，當棒與豎直方向的夾角為θ時，棒的角速度為

【解析】棒與平面接觸，因面本身速度就已垂直于面不需要分解棒做圓周運動，接觸點速度沿切線方向，沿垂直台與平行台分解，如下圖ΔAＢＣ中

∴Ｖ台＝Ｖ棒sinθ

Ｄ項正确

例９、光滑半球A 放在豎直面光滑的牆角，并用手推着保持靜止。現在A 與牆壁之間放入光滑球B，放手讓A 和B 由靜止開始運動，當A、B 運動到圖示位置時，二者球心的連線與水平面成θ角，速度大小分别為ＶＡ 和ＶB ，則以下關系正确的是

【解析】此處接觸面是弧面，所以垂直弧面的方向為半徑，即沿半徑方向速度相等。

對Ａ球求沿半徑方向的分速度　

Ｖ=ＶＡ cosθ

對Ｂ球求沿半徑方向的分速度　

Ｖ=ＶB sinθ

∴ＶＡ=ＶB tanθ 　　　D項正确

四、兩杆（兩線）相交

這類題目，用微元法做是比較好的方法

例１０、相互垂直的兩杆各自沿垂直于杆的方向運動，速度分别為Ｖ１和Ｖ２，則交點的速度為？

在各自速度方向上取一微元，如上圖，由于ＡＢＣ為直角三角形，所以

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