算算時間，開學已經快一個月，大家的高中生活怎麼樣？學習都一切順利嗎？

高中學習生活相比初中會緊湊很多，時間相對會更加“擁擠”。這不僅僅是因為知識難度增加造成，學習的科目也在變多，同時高中對學習方法技巧等等要求也變得更高。以上這些都給高一新生造成一定的學習壓力，如果不及時調整，很容易造成高中學習開局不利，影響後續的學習。

如高中的數學學習，往年一些學生進入高中之後，沒有及時認識到高中數學的變化，繼續沿用初中時期的學習方法，從而引起“水土不服”，最終影響數學成績的提高；或一些學生剛進入高中，面對新環境，“興奮過度”，或是無法适應新環境的變化，最終影響成績的提高。

我們經常說萬事開頭難，因此，如果能高中“第一章”學習中取得優異成績，這無非可以幫助大家為後續的學習打好基礎。像高中數學第一章學習的内容是集合，本章節知識内容難度不大，但都是高考數學必考内容，幾乎每一年都會考到。

如高考數學考查的重點是抽象思維能力，主要考查集合與集合的運算關系，将加強對集合的計算與化簡的考查，并有可能從有限集合向無限集合發展。簡易邏輯多為考查“充分與必要條件”及命題真僞的判别。

學好集合，那麼大家先學會分清元素與集合一些基本概念：

1、集合中元素的三個特性：确定性、互異性、無序性．

2、集合中元素與集合的關系：

元素與集合之間的關系有屬于和不屬于兩種，表示符号為∈和∉.

3、常見集合的符号表示：

自然數集用N表示；

正整數集用N*或N＋表示；

整數集用Z表示；

有理數集用Q表示；

實數集用R表示。

4、集合的表示法：列舉法、描述法、韋恩圖．

集合間的基本關系有相等、子集、真子集，具體如下：

1、相等

集合A與集合B中的所有元素都相同，記作A＝B。

2、子集

A中任意一元素均為B中的元素，記作A⊆B或B⊇A。

3、真子集

A中任意一元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素A中沒有，記作A⊆B（或B⊇A）。

同時，在集合當中存在一種非常重要的集合，空集。空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。空集不是無；它是内部沒有元素的集合。用符号Ø表示。

可以将集合想象成一個裝有元素的袋子，而空集的袋子是空的，但袋子本身确實是存在的。

典型例題分析1：

已知集合A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，則(　　)

A．A⊆B　　 B．C⊆B

C．D⊆C D．A⊆D

解析：選B　選項A錯，應當是B⊆A.選項B對，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．選項C錯，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．選項D錯，應當是D⊆A.

典型例題分析3：

設集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，則A∩(∁RB)＝(　　)

A．(1,4) B．(3,4)

C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)

解析：選B　因為∁RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|3＜x＜4}．

集合相關高考數學問題難度不大，但要想快速、準确拿到全部分數，那麼大家必須正确理解集合的概念。如研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然後再看元素的限制條件，當集合用描述法表示時，注意弄清其元素表示的意義是什麼．注意區分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．

掌握好集合的基本運算：

1、集合的并集，用符号A∪B來表示，{x|x∈A，或x∈B}

2、集合的交集，用符号A∩B來表示，{x|x∈A，且x∈B}

3、集合的補集，若全集為U，則集合A的補集為∁UA，{x|x∈U，且x∉A}

三種基本運算的圖形表示如下：

特别要注意空集的特殊性：空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解題時，若未明确說明集合非空時，要考慮到集合為空集的可能性．例如：A⊆B，則需考慮A＝∅和A≠∅兩種可能的情況。

典型例題分析3：

設集合Sn＝{1,2,3，…，n}，若X⊆Sn，把X的所有元素的乘積稱為X的容量(若X中隻有一個元素，則該元素的數值即為它的容量，規定空集的容量為0)．若X的容量為奇(偶)數，則稱X為Sn的奇(偶)子集．則S4的所有奇子集的容量之和為________．

解析：∵S4＝{1,2,3,4}，

∴X＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，

{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．

其中是奇子集的為X＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别為1,3,3，所以S4的所有奇子集的容量之和為7.

答案：7

典型例題分析4：

已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個數為(　　)

A．3 B．6

C．8 D．10

(2)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，則(m－n)2013＝________.

解：　(1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，

∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.

∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，

∴B中所含元素的個數為10.

(2)由M＝N知

判斷兩集合的關系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達式中尋找兩集合間的關系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關系。

已知兩集合間的關系求參數時，關鍵是将兩集合間的關系轉化為元素間的關系，進而轉化為參數滿足的關系．解決這類問題常常需要合理利用數軸、Venn圖幫助分析

研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性，對于含有字母的集合，在求出字母的值後，要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性．

對于集合相等首先要分析已知元素與另一個集合中哪一個元素相等，分幾種情況列出方程(組)進行求解，要注意檢驗是否滿足互異性．

典型例題5：

給定集合A，若對于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下三個結論：

①集合A＝{－4，－2,0,2,4}為閉集合；

②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}為閉集合；

③若集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合．

其中正确結論的序号是________．

解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以不正确；

②中設n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，則n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；

③令A1＝{－4,0,4}，A2＝{－2,0,2}，則A1，A2為閉集合，但A1∪A2不是閉集合，所以③不正确．

答案：②

[答案]　(1)D　(2)D

典型例題分析6：

設P、Q為兩個非空實數集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q中元素的個數為(　　)

A．9 B．8

C．7 D．6

(2)已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，則a＝________.

解析：(1)∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴當a＝0時，a＋b的值為1,2,6；當a＝2時，a＋b的值為3,4,8；當a＝5時，a＋b的值為6,7,11，

∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P＋Q中有8個元素．

(2)∵－3∈A，

∴－3＝a－2或－3＝2a2＋5a.

∴a＝－1或a＝－3/2.

當a＝－1時，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，

與元素互異性矛盾，應舍去．

當a＝－3/2時，a－2＝－7/2，2a2＋5a＝－3.

∴a＝－3/2滿足條件．

答案：(1)B　(2)－3/2

在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續時用數軸表示，用數軸表示時注意端點值的取舍。

在解決有關A∩B＝∅，A⊆B等集合問題時，一定先考慮A或B是否為空集，以防漏解，另外要注意分類讨論和數形結合思想的應用。

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