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平面向量最值問題解題

教育更新时间:2025-02-08 11:27:56

“曲中求直，蓄而後發，此謂借力打人，四兩撥千斤也”。出自武術大家李亦畲的《五字訣》，用于說明太極之奧義。

今天介紹一個平面向量的極化恒等式，亦有“四兩撥千斤”之妙。一個公式，六種用法，小公式，大力量！

平面向量最值問題解題（很多數學老師不知道的極化恒等式）1

求解數量積常用的方法基底法、坐标法和圖形法（幾何意義法），但有時其解題過程運算複雜、過程繁冗，經常導緻錯誤。此時若能巧用極化恒等式，往往化繁為簡，快速找到解題突破口。本文以近幾年高考、模拟試題為例，對極化恒等式在數量積問題中的應用進行分類整理，有助于學生成績快速提升！

定理：設a，b是平面内的兩個向量，則有a·b= 1/4［（a b）²-（a-b）²］.

推導方式比較容易，隻需将右側平方公式打開即可！

幾何意義：△ABC中，AD為中線。則有：

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極化恒等式的幾何意義

即：向量的數量積可轉化為中線長與半底邊長的平方差，揭示了三角形中線與邊的關系，也可以理解為向量的數量積可表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的1/4。

特征：兩個向量必須共起點，點D是兩個向量夾角所對第三向量（這兩個向量之差）上的中點。

題型一：三角形中數量積

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【點評】利用極化恒等式構造方程組，從而求出數量積的值。對于從中線與底邊這兩個方向尋找基底向量的數量積問題，可以運用極化恒等式，把數量積轉化為數量的運算，大大簡化計算量！

平面向量最值問題解題（很多數學老師不知道的極化恒等式）5

【分析】此題是最值問題，标準答案是坐标法。計算量較大，此時利用極化恒等式直接将數量積轉化，利用均值非常簡單。

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以下是幾道三角形模型适合極化恒等式關于數量積的練習題。用來給學生練習使用。

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題型二四邊形中數量積

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題型三圓形中數量積

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配套練習

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題型四圓錐曲線中數量積

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配套練習

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題型五立體幾何中的數量積

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配套練習

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題型六多動點數量積

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【分析】此題初看是可以使用極化恒等式求解，但學生一經分析便遇到了兩個動點的困難，成了許多學生的“攔路虎”，此題需要結合轉化的思想，挖掘靜态條件，從而進行突破。需要将向量BP轉化為向量BC 向量CP處理。

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【點評】遇到多動點的問題的時候，要考慮“化動為靜”，逐漸将多動點轉化為少動點，這是一個重要的解題思想。

配套練習

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