數軸這一個重要的數學模型相傳是笛卡爾發明的，它将數和形完美地結合和統一起來。數軸的定義，我們并不陌生。在中學教材中，數軸被定義為規定了原點（origin），正方向和單位長度的直線叫數軸。原點、單位長度、正方向是數軸的三要素。

一般地，我們畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（叫做原點，Origin），選取某一長度作為單位長度（unitlength），規定直線上向右的方向為正方向（positivedirection）。這條直線上的點和實數對應，從原點出發朝正方向的射線上的點對應正數，相反方向的射線上的點對應負數，而原點對應數零，離原點一個單位長度處的兩個點分别對應 l和-1。每一點所對應的數的絕對值等于它到原點的距離。

1． 數軸分割問題

我們可曾想過：直線是連續的、"天衣無縫"的嗎？全體實數也是連續的、"親密無間"的嗎？或者說，直線上的點如何一個緊挨一個？全體實數又怎樣一個接着一個而一統天下？

直線的連綿不斷似乎可以找到直觀的感覺作為依據。設想用一把鋒利的刀，砍向直線，必然會砍在直線的某一點P上。不然，直線上就會出現縫隙。現在的問題是，以P點為界軌直線為兩截，P點必然居于其中的一截。這樣一來，直線的連續性可以依賴于一個簡單而又直觀的事實：無論從何處斬斷直線，總有一個"斷點"。

然而，實數的連續性卻不那麼直觀。為此我們親自來建立一條數軸，也就是說，我們将實數在直線上标明出來。标上整數、分數、乃至全體有理數，都是很容易的，而且标有理數的點密密麻麻。如果這時我們考慮直線被斬斷，就會把這些有理點分成較大與較小的兩部分，"斷點"為其分界。

用數學術語說，把有理數分成A、B兩個集合，A中每個有理數都比B中每個有理數都小，這一對集合就叫做有理數的一個分割，記為｛A，B｝，A叫做分割的下集，B叫做分割的上集。這個分割确定了上、下兩集之間的位置。

這個位置可以正好是一個有理點，譬如，A是所有負有理數的集合，B為其餘有理數的集合，則B中有最小數0，為斷點。因此，我們可以說，如果A有最大數，或者B有最小數，那麼分割｛A，B｝，則确定了一個有理數，即A的最大數或B的最小數。

然而，A中沒有最大數，B中也沒有最小數的情況，在有理數的分割中是很有可能發生的。譬如：所有那些平方大于2的正有理數組成B集，其餘的有理數組成A集。這個分割的下集無最大數，上集也無最小數，它留下一個"空隙"。這個空隙反映在直線的情況下，就是那個"斷點"不是有理點，那麼填補這個空隙隻有請一個無理數 來充當這個斷點。

從邏輯上講，有理數的分割要麼不會産生空隙，要麼會産生空隙，再沒其他情況。結論就很清楚了：有理數的一個分割确定一個實數。如果分割不産生空隙，那麼它就是一個有理數；如果産生空隙，那麼它就是一個無理數，實數正好包括有理數和無理數，實數也是連續的。

這種分割是由德國數學家戴德金（Dedekind，1831－1916）于1872年在《連續性與無理數》一書中提出的，人們稱之為"戴德金分割"。戴德金由分割來描述連續，并定義了實數，他無不自豪說："如此平凡之見，道破了連續性的奧秘。"這是辯證法的勝利。然而，這一勝利卻來之不易，人類為了研究實數的連續性，可以說從古希臘時代畢達哥拉斯學派發現無理數時就開始了，經曆了2000多年啊！

2． 數軸動點趣事

再想象一下，一群人站在一個數軸上，每個人之間間隔1米，以中間那個為人0，兩邊分别為人1和人-1，以此類推，如圖：

然後延伸這條數軸，每個對應左右兩邊的人都是相同速度。站在中間的人0，會正确地觀察到他的"宇宙"正在膨脹，任何在數軸上的人都會慢慢地遠離他。

假設數軸延伸速度為每秒1米，人1和人0之間的遠離速度就是1米每秒，每個人和自己對應的左右兩邊的人都是相同速度1米每秒，但是人0和人10 之間就不一樣了。

當數軸開始延伸，每個人之間的距離擴展到2米，人0和人10之間卻擴展了20米，本來他們之間距離是10米，1秒内擴展到了20米，可以計算相對于人0，人1的速度為10米每秒，而且距離越遠這個速度就越快。現在把這個小理論放到宇宙範圍，在距離我們150億光年外的星系，遠離我們的速度已經超過光速。

3. 數軸賦予我們一個哲理

發明家愛迪生說："偉大人物最明顯的标志，就是他堅強的意志。"作為一種力量、一種精神，意志力是指一個人或一個組織想 要達到某種目标而自覺奮鬥、永不退縮的心理狀态。它表現為一種承受能力、一種精神氣質。一個人意志力的堅強或薄弱，主要是指在承受困難的過程中，這種精神氣質能有多大程度的展現。我們可以虛拟一個關于意志力的坐标或數軸，這種精神氣質在坐标或數軸的正方向延伸得越長，意志力就越堅強；反之，意志力則越薄弱。

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