雙曲線與切線，漸近線交點問題，可以說霸占了考題難題的的百分之八十，需要好好分析總結。本文閱讀需要8分鐘左右。

當我們畫了一對雙曲線時，在平面内任取一個點。

顯然，它會與雙曲線有三種位置關系。

兩曲線之間，在曲線上，在左右兩邊即曲線之外。

對于每一種位置關系我們會問這樣幾個問題：

1. 何時有一個交點

2. 何時兩個交點

3. 何時沒有交點

4. 何時兩個交點位于同側

5. 何時兩個交點位于異側

他們的答案，都會和斜率有關，包括切線和準線的斜率。

先來看第一種情況；

點在兩條曲線之間：

點在雙曲線中間，示意圖

此時,例子如圖。

K1,k2為切線斜率：

（關于切線是與一側切兩次還是與兩個曲線各切一次：

如果這個點在漸近線兩線相夾的上下區域：就和兩側切。

如果在漸近線區域左右：就和靠近的一側，上面一個，下面一個。

K3，k4為漸近線斜率，k3<0 k4>0

（漸近線斜率陡峭還是切線斜率陡峭?

一定是切線斜率陡峭，因為切線斜率的極限才能夠是漸近線）

所以k1》k4

K2<k3

此時解決問題：

1. 何時有一個交點（過（m，n）點 k=k1，k2，k3，k4）

2. 何時兩個交點( （k1,k2)

3. 何時沒有交點 (k1,oo)(oo,k2)

4. 何時兩個交點位于同側

(同側即為正斜率到正斜率，負斜率到負斜率）區間（k4，k1） （k2,k3)

5. 何時兩個交點位于異側(k3,k4)

第二種：

點在曲線上：

會産生三條特殊線，隻有一個公共交點：

切線k1

正斜率k2

負斜率k3

此時解決問題：

1. 何時有一個交點（過（m，n）點 k=k1，k2，k3）

2. 何時兩個交點( （k1,k2)（k3，k2）（k1，oo）（-OO，k3）

3. 何時沒有交點 不存在

4. 何時兩個交點位于同側 （k1，oo）（-OO，k3）（k1,k2)

5. 何時兩個交點位于異側(k3,k2)

第三種情況：點在曲線兩側

隻有倆斜率正k1負k2

此時解決問題：

1. 何時有一個交點（過（m，n）點 k=k1，k2）

2. 何時兩個交點( （k1，oo）（-OO，k2）（k1，k2）

3. 何時沒有交點 不存在

4. 何時兩個交點位于同側 （k1，oo）（-OO，k2）

5. 何時兩個交點位于異側（k1，k2）

大體就是這樣。

細節之處不辯不清的，歡迎大家留言來讨論。

作者：柴老師

高考數學149分，哈工大本科，北京大學雙學位在讀。四年來幫助上千名學生高考提分三十加。

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