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帶你走進一個不一樣的數學世界

• 本文選自《數學文化》第2卷第4期

在世界上，說起文學界裡最著名的一位數學家，他的名字大概沒有幾個人知曉，叫查爾斯•路特維奇• 道奇森（Charles Lutwidge Dodgson）。如果說起數學界裡最著名的一位文學家，那倒是聲名廣播，他就是著名的童話文學作家劉易斯•卡羅爾（Lewis Carroll）。他以《愛麗絲漫遊奇境》和《愛麗絲鏡中奇遇記》兩部童話聞名于世，因此被稱作“愛麗絲之父”。

其實，他們是同一個人。查爾斯• 路特維奇•道奇森是他的真實姓名，劉易斯• 卡羅爾是他發表文學作品時的筆名。由于他的文學成就遠遠超過他在數學方面的建樹，所以使得劉易斯• 卡羅爾的名字經久流傳，他的本名道奇森反倒默默無聞了。

1卡羅爾生平

卡羅爾于1832 年1 月27 日出生在英格蘭柴郡霍爾頓地區的達斯伯裡鎮（Daresbury, Cheshire,England），此地在世界地理上名氣頗大，夏季的麥田裡經常驚現奇異的怪圈，天空不時閃現神秘的光球，還會出現磁場紊亂的特異現象。卡羅爾是家裡的第一個男孩兒，家裡還有兩個姐姐和八個弟妹。他的家庭條件優越，父親在數學方面有一定的造詣，具有大學數學和神學的雙學位，是一位德高望重的牧師。母親善良賢惠，勤儉持家，在卡羅爾眼裡，母親是世界上最溫柔可親的人。他們對孩子的學前教育非常重視，因而卡羅爾兒時一開始是在家裡接受父母親的教育而沒進正規學校的。他七歲的時候，就顯露出了超人的智慧。他特别喜歡數學和邏輯學的課程，而且能夠讀大部頭的小說。

十二歲那年，他才進入正規的裡奇蒙小學（Richmond Grammar School） 讀書， 這是一所私立學校，他勤奮好學，學業成績始終出類拔萃。校長對他父母親說過：道奇森雖然有些口吃，但是巧言善辯，很有文學天賦，他的拉丁語散文構思精巧，辭藻華麗，他是一個非凡的天才。在1846年他14 歲的時候，轉學到公立的拉格比（Rugby School）學校。初到一個陌生的環境，遠離家庭，令他郁郁寡歡。本來他就生性腼腆，又患有口吃症，因此經常受到其他同學的欺侮嘲弄，被稱為“笨蛋”。這一年，卡羅爾又因為發高燒而導緻右耳失聰。他的學業并沒有因此受到影響，他的數學老師馬耶爾（R. B. Mayor）就曾說：自從我來到拉格比學校後，還從來沒有見過比道奇森更有出息的學生。 可惜，他在這所學校卻沒有獲得過數學、閱讀和神學這些課程的任何獎勵。

劉易斯• 卡羅爾（1832-1898）

1850 年，卡羅爾患上了嚴重的肺病。他離開拉格比學校，在家裡做報考牛津大學的準備。第二年，他如願以償考入了牛津大學。父親想讓卡羅爾承繼自己的事業，但是，他并不熱衷于宗教理論的學習，畢業時隻取得了數學學士學位，沒能拿到神學學位。數學天賦給他帶來過很多榮譽，1852 年，他獲得過牛津大學數學考試的一等獎，因此，獲得了獎學金。1854 年的考試中，他又取得數學學術考試的第一名，再次獲得一等獎的榮譽。1856 年，他畢業不到一年，就被牛津大學聘為基督堂學院圖書館副館長，同年擔任數學講師。 兩年後，他取得了數學碩士學位。剛開始，他對留在基督堂學院工作并不太滿意，但是，他還是堅持了下來，在此教授數學二十六年。中年之後，他又患上了偏頭疼和癫痫病，身體僵硬，行動起來顯得很不協調。病痛的長期折磨使他在49 歲時不得不主動辭去了數學教席的工作。他終身未娶，孤身一人，一直居住在牛津，直到1898 年溘然長逝。

2與愛麗絲的交往

1856 年，牛津大學基督堂學院新任院長利德爾（Henry Liddell）到任，他們一家和卡羅爾很快建立了友誼。在他孩子們的眼裡，卡羅爾是一個風趣随和的大帥哥，因為他經常帶着愛麗絲三姐妹一起去公園遊玩。牛津大學的自然曆史博物館是一座藝術和科學的聖殿，卡羅爾寫有詩篇，盛情贊美過這座具有前拉斐爾學派裝飾的哥特式建築。這裡也成為他帶領愛麗絲姊妹經常光顧的地方。

卡羅爾帶愛麗絲姐妹常去的牛津大學自然曆史博物館

卡羅爾還利用自己的專業特長，幫助愛麗絲家的孩子們補習數學功課。他講授算術加法的一種方式被記載流傳了下來，就像變魔術一樣，對現在的數學教學也仍有啟發性。卡羅爾預先寫一個足夠大的五位數放進愛麗絲的口袋裡，然後在黑闆上寫一個比它小9999×3 的一個數作為被加數，讓愛麗絲三姊妹依次寫一個加數，每當一個孩子寫完後，卡羅爾就接着也寫一個加數，使得其和等于9999。最後讓孩子們計算，得到的答案令孩子們感覺很神奇，每次都與愛麗絲口袋裡的數相等。由于孩子們不清楚其中的奧秘，所以，她們非常喜歡做這種加法訓練。

1862 年7 月4 日的一個下午，從牛津大學附近的 Folly Bridge出發， 在潺湲的泰晤士河上， 卡羅爾與牧師羅賓遜• 達克沃斯（Robinson Duckworth） 一起帶着愛麗絲三姐妹泛舟河中。在途中，卡羅爾給她們講述着動聽的故事，讓三個美少女聽得津津有味。故事講述了一個叫愛麗絲的小女孩，在追逐一隻兔子時掉進了兔子洞。從此，開始了一段驚險的旅行，最後，和撲克牌王後、國王發生沖突，驚出一身冷汗，才從夢中醒來。但凡故事中出現美少女的形象，卡羅爾一定會用他最喜歡的愛麗絲的名字給她命名。

後來，卡羅爾把這個故事擴展潤色，寫成了一本童話作品《愛麗絲漫遊奇境》，在這一年的聖誕節，作為禮物送給了愛麗絲。

卡羅爾一生保持着寫日記的習慣，傳世的共有十三本，記得非常詳細。1856 年，卡羅爾剛剛購買了照相機，在 4 月25 日第一次見到了不滿四歲的愛麗絲。6 月3 日這一天給愛麗絲三姊妹拍攝了照片。愛麗絲則成為他長期的攝影模特，因此，愛麗絲那富于想象的自然童稚般的身姿得以長留在人間。

卡羅爾為愛麗絲拍攝的照片

1863 年6 月底，愛麗絲十一歲，她的母親斷然拒絕了卡羅爾的到訪，并且将卡羅爾寫給愛麗絲的信全部燒毀。卡羅爾6 月27 日至29 日三天的日記也神秘地消失了。從此以後，他的日記不再有與愛麗絲一家聯系的記載。原因何在，成為一段令人不解之謎。

1880 年9 月，愛麗絲結婚，卡羅爾沒有出席，隻是和友人共同給新婚夫婦送去了一幅水彩畫。1898 年，六十六歲的卡羅爾因肺炎去世。愛麗絲也沒有參加他的葬禮，隻是托人代她送了一束鮮花。

3數學生涯

卡羅爾在數學上的研究領域主要是幾何學、線性代數和數理邏輯。他發表過很多關于行列式和研究平行公理的數學著作和論文。他為自己起的筆名，都蘊含着邏輯的趣味性，将原名翻譯成拉丁文後，查爾斯（Charles）讀作卡羅爾斯（Carolus），而路特維奇（Lutwidge）讀作劉易斯（Ludovic）。姓名的邏輯反複成就了劉易斯• 卡羅爾的筆名。

卡羅爾漫畫像

1868 年， 卡羅爾精心研究了維吉尼亞密碼（Vigenère cipher）。這種密碼最早是1553 年由意大利數學家貝拉索（Giovan Battista Bellaso）發明的，卡羅爾突破了原來恺撒密碼的單一性，擴展出複雜的多表密碼，并且引入了“密鑰”的概念，極大地增加了密碼破譯的難度。

其實，卡羅爾在數學理論的創新上乏善可陳，他更熱衷于在傳播數學方面盡一點綿薄之力，以提高學生學習數學的興趣。他提出過一種确定某一天是星期幾的算法，總結出一個數被不同的數相除的餘數規律，甚至根據數學理論發明了一種更加公平的網球比賽規則，設計過一種新的郵政彙票方式。

卡羅爾的《日記》記錄了許多數學問題，其中有一道很是著名：一根繩子穿過一個定滑輪，其一端挂着10 磅重的砝碼，另一端挂着10 磅重的一隻猴子。當猴子向上爬的時候，砝碼将怎樣運動？卡羅爾同時還記錄了許多數學家給出的截然不同的答案。看來這個問題并不是什麼人都能回答對的。

卡羅爾的《日記》裡還有一個關于兩座鐘表的邏輯問題：有兩座鐘表，一座每天慢一分鐘，另一座停擺不動，問哪一座報時更為準确？卡羅爾指出，那座一天慢1 分的鐘表，要在慢了12 個小時後才準時一次，這需要720 天的時間，即每兩年才準确報時一次。而停擺的那一座的鐘表，每天可以準确報時兩次，顯然，停擺鐘表的報時相比較而言要準确一些。接着，他以愛麗絲的口吻提出了一個數學悖論：當鐘表指針停在8 點時，每到8 點的時候，停擺的鐘表确實是對的，可是，我們怎麼就知道什麼時侯正好就是8 點呢？卡羅爾诙諧地對愛麗絲說道：哦，那很容易解決。你隻要手握一支槍，站在停擺的鐘表旁邊，死死盯着它，當另外一個準确的鐘表指針恰好對準8 點的時刻，你立即開槍，聽到槍響的人全都知道這時一定是8 點整了。

4《愛麗絲漫遊奇境》背後的故事

1865 年7 月4 日，《愛麗絲漫遊奇境》正式出版，在英國迅速傳播開來，獲得了巨大的成功，著名畫家約翰• 泰尼爾為其繪制的插畫也成為美術經典。卡羅爾特意将小羊皮精裝本的首印本贈送給愛麗絲，另外，也贈送了一本給同名的維多利亞女王的女兒愛麗絲公主。維多利亞女王先睹為快，略生醋意，指定卡羅爾要把他的下一部作品題辭贈送給她本人。有好事者杜撰，卡羅爾遂将其後寫成的一本數學著作《行列式基礎》送給了女王，卡羅爾專門為此辟謠。

《愛麗絲漫遊奇境》是英國魔幻文學的奠基之作，首開以怪異奇幻方式構思兒童小說之先河。這部充滿哲理和超越時代感的童話突破了傳統兒童文學作品中的道德說教模式，注入了許多以前文學作品中不曾出現過的清新元素，如充滿智慧的雙關語和數學邏輯遊戲，辯論技巧和名言改編，反映英國維多利亞時期社會生活的笑話與典故等等，想象奇詭，風趣幽默，語言婉約自然，惟妙惟肖地塑造了各種典型人物。

卡羅爾一生充滿童真，彰顯着遊戲精神。他不僅在學術和寫作領域裡玩數字和邏輯、玩文字雙關語、玩改編詩句、玩攝影，甚至當時社會上流行的遊戲，他也能玩出花樣，玩成極緻。諸如木偶戲、魔術、國際象棋和西洋雙陸棋、槌球和台球等等，他沒有一樣不精通。在《愛麗絲漫遊奇境》中，卡羅爾充分展示了自己的遊戲精神，運用戲劇的手法，将典型人物塑造成各類角色：怨天尤人、喜怒無常的螃蟹，免開尊口、惜字如金的牡蛎，自尋沒趣、饒舌煩人的喜鵲，帶有愛爾蘭腔調的傭人派德等等。

口吃的毛病一直困擾着卡羅爾，對此他經常用自嘲的方式來表現自己的樂觀精神。在《愛麗絲漫遊奇境》中，他就把自己姓名中的道奇森（Dodgson）改寫成“Dodo—Dodgson”， 就是那隻發音不清楚的渡渡鳥。渡渡鳥原産于印度洋毛裡求斯島，體格碩大，不能飛翔，在十七世紀就已經滅絕了。他描寫渡渡鳥喜歡“用莎士比亞的姿勢思考問題”，當然就是對他自己的贊譽。塑造渡渡鳥形象的靈感出自卡羅爾經常光顧的牛津大學的自然曆史博物館，裡面有一幅動物學家喬治• 愛德華(George Edwards) 繪制的渡渡鳥畫像，體型笨拙，憨态可掬。

動物學家根據遺骨所繪制的渡渡鳥畫像

《愛麗絲漫遊奇境》很快就風靡了全世界，被翻譯成德語、法語、瑞士語、意大利語、丹麥語、俄語等100 多種文字。據說，世界上被英語文獻引用次數最多的三部作品就是《聖經》，莎士比亞的戲劇和《愛麗絲漫遊奇境》。

中國在上個世紀二十年代，由語言大師趙元任翻譯成漢語，介紹給中國的小讀者。1871 年，卡羅爾創作的姊妹篇《愛麗絲鏡中奇遇記》也正式出版。愛麗絲的故事在世界各地被無數次地改編成戲劇、電影、電視劇、啞劇和動畫片等藝術形式，成為世界上最受歡迎的兒童文學作品之一。

在《愛麗絲鏡中奇遇記》中，有一個白騎士的典型形象，活靈活現，就像唐吉诃德的化身。白騎士總是愛好在公衆面前展示自己的天才發明，很快又會陷入發明物露出缺陷的尴尬之中。塑造這個形象也表現了卡羅爾的一種自嘲，因為卡羅爾本人平時也喜歡搗鼓一些小發明，很多都有實際的應用價值，比如便于旅行中攜帶的國際象棋，可以在黑暗中書寫的寫字闆，三輪車轉向裝置，雙面膠和改進打字機等等。

《愛麗絲漫遊奇境》讓卡羅爾的名字迅速傳遍了世界。英國、美國、日本、新西蘭、澳大利亞和加拿大等國都成立了“卡羅爾協會”，專門研究卡羅爾的作品。甚至在宇宙物理學領域，法國物理學家列維- 萊布龍德用卡羅爾的名字命名了卡羅爾宇宙的概念，使他的名字和偉大的牛頓、愛因斯坦并列，按人類認識順序依次被稱為卡羅爾宇宙、牛頓宇宙和愛因斯坦宇宙。遠古的人們認為空間是有限的，是固定不變的，時間是流失的，是相對的。每個部落就是一個與世隔絕自給自足的小世界，人的生命有限，行動半徑狹小，人類對宇宙的認識尚處于幼稚階段，所以，科學家自然想到用卡羅爾的名字來命名。在牛頓宇宙中，人們認識到空間是無限的，是相對的，而時間是确定的，是絕對的。當我們進入了愛因斯坦宇宙，才揭示出時間沒有始終，空間有不同的存在形式。

年輕的卡羅爾多才多藝，興趣廣泛。1856 年，他第一次用“劉易斯• 卡羅爾”的筆名發表了詩歌《寂寞》，詩的開頭這樣寫道：“我愛甯靜的森林，我愛小溪那潺潺流水聲”。

卡羅爾平生愛好攝影，與英國的攝影先驅卡梅隆（Julia Cameron）是好朋友，他們經常在一起切磋攝影方面的問題，共同參加了很多攝影活動。卡羅爾受聘牛津大學基督堂學院的第二年就購買了一套價格不菲的攝影器材，他後來為了在他居住的屋頂上建造一座玻璃攝影棚，與當時任學院院長的愛麗絲的父親還發生過争執，最後校方還是同意了他的做法。

卡羅爾的人際社交圈主要是上流社會， 他天生具備娛樂精神， 雖然口吃， 但他很會講幽默故事，喜歡唱歌， 并不懼怕在别人面前講話。因此， 他給許多當時的社會名流拍攝過藝術照片， 其中包括著名的油畫家亨特（William Halman Hunt） 和米萊（John Everett Millais），偉大的物理學家法拉第（Michael Faraday），著名的詩人丁尼生（Alfred Tennyson）和羅塞蒂（Dante Gabriel Rossetti），還有英國的利奧波德王子（Prince Leopold of the United Kingdom）。卡羅爾一生共發表了一百多張藝術照片，最終成為了一位具有突出成就的藝術攝影家。

4用數學眼光解讀卡羅爾童話世界

讀過愛麗絲系列童話的人數以億計，按照個人的理解，他們各自讀出了不同的主題。愛麗絲的典型形象裡折射着卡羅爾的影子，友好善良、好奇質疑、傲慢幽默、善于反省、思想自由、蔑視權威。卡羅爾利用純潔的童話形式，使得荒誕情節在表面平靜的世界裡折射出了複雜的現實。因此，大家各自讀出了對英國維多利亞時期名人的戲谑和嘲諷，讀出了兒童眼睛裡看到的成人的行為舉止，讀出了卡羅爾的宗教信仰和對超自然現象的迷戀，讀出了卡羅爾對傳統數學的敬意和對數學領域最新進展的不理解和諷喻。

從數學角度解讀卡羅爾的研究者和讀者認為，卡羅爾生活在19 世紀中葉以後，現代數學飛速發展，形成了形式化和抽象化的特點。非歐幾何、抽象代數和拓撲學的興起，讓人們認識到數學既是對客觀現實的抽象，也是人類思維的自由創造。作為一位傳統保守的數學家，卡羅爾對數學的認識，還不能徹底擺脫幾何和物理的直觀，對數學新成果就帶有不理解的情緒，認為它們雖然邏輯嚴密，但是并不合于實際的幾何空間和客觀的物理現實。所以，他采用數學意象和數學元素構思的很多童話情節都帶有荒誕和負面的影子。

愛麗絲從現實世界來到一個奇詭的空間，她試圖要表現對乘法表的親近時，發現它們并不是自己熟悉的阿拉伯數字系統。卡羅爾認為，既然數學裡可以有類似虛數這樣的東西存在，那麼，現實世界裡也就可能發生任何荒誕和詭谲的事情。

射影幾何和拓撲學裡有連續變換原理，是說一個物體在連續地變換成另一種物體時，它的基本特征（不變量）不會改變。隻有笑容沒有臉的柴郡貓是最具有數學意味的形象。當愛麗絲把公爵夫人的小孩抱出房間，孩子變成了一隻小豬。柴郡貓說：“我本來料到他會這樣的。”這不就是卡羅爾在試圖表現的不變量的意象嗎？

愛麗絲在歐氏空間的身體可以任意伸縮。吃不同的兩種蘑菇，她的軀幹和脖子的伸縮速率必須一緻，才能保持體型的勻稱優美。但是，在縮小的過程中，緻使她的下颌與腳趾貼到了一起，無法張嘴吃到蘑菇把自己變回去。此時，毛毛蟲扮演了不變量的意象，讓愛麗絲不要生氣(Don't lose temper)。Temper（脾氣）在數學上指物體之間的比例關系，意在提醒愛麗絲在變化中不要失去了比例。

吃蘑菇變化中的愛麗絲

1843 年，愛爾蘭數學家哈密爾頓（William Rowan Hamilton）提出了“四元數”的概念。他在研究這個問題時，首先試圖構造三維複數，結果發現沒有可能，因此，才觸發了構造四元數的靈感。哈密爾頓為了給“四元數”一個直觀的幾何意義，在三維歐氏空間的基礎上，規定了一個時間的維度。

卡羅爾利用“四元數”構思了一個茶會的場景。茶會上，代表“三維”的帽匠、三月兔和睡鼠邊喝着下午茶，邊圍着圓桌循環挪動位置， 而時間卻靜止在3 點鐘。帽匠對愛麗絲說，他和時間吵架了，時間賭氣，什麼事都不幹了。這恰好反映了哈密爾頓在研究“四元數”的過程中，陷入了創設三維複數的臆想。帽匠和三月兔試圖把睡鼠塞進茶壺裡的情節，隐喻着卡羅爾對傳統數學的鐘愛，消除掉一個參數，回歸到複數的狀态，讓幾何空間重新恢複直觀的歐幾裡得體系。

《愛麗絲漫遊奇境》中的那隻鴿子，用錯誤的邏輯推理得出愛麗絲是一條蛇的結論。它的邏輯是：小姑娘吃蛋，蛇也吃蛋，所以小姑娘是蛇。這是一個典型的三段論邏輯錯誤。《愛麗絲鏡中奇遇記》中，白騎士要唱一首安慰愛麗絲的歌，當愛麗絲問起歌名時，白騎士一口氣說了這首歌在不同情況下的四個歌名：這首歌是“在大門上坐坐”，它被稱為“路徑和方法”，它的名字是“特老的老人”，它還有一個名字是“黑線鳕的眼睛”。這可以理解為是卡羅爾在以白騎士的化身形象向兒童讀者們展示事物的實體、事物的概念和事物的名稱之間是如何可以完全不同。

白騎士與愛麗絲

作者簡介：

• 蔡旭，新疆兵團第二師華山中學高中數學教師。畢業于陝西師範大學數學與應用數學專業，目前為陝西師範大學教育學在讀碩士。

• 張小平，河南大學數學教育專業畢業，現為新疆兵團第二師華山中學高級教師。

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