極限是高等數學中的重要内容之一，極限的運算在各類考試中都會出現，不同考試中試題的難度也不同。

關于極限的計算方法有很多，應用也很靈活，往往在一道題中，我們需要綜合使用多種方法。因此，對極限的計算方法進行總結，提煉出一些實用的技巧，有助于提高計算的速度和準确度，從而能夠提高考試的分數，甚至改變自己的命運！

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，極限分别為都存在，極限值分别為A，B，則下面極限都存在，

且有 （1）lim [f(x)±g(x)]=A±B;

（2）lim f(x)·g(x)=A·B;

（3）lim（f(x)/g(x)）=A/B(B≠0).

分析：極限的四則運算法則是極限的基本法則，直接利用四則運算法則的題目往往難度都不大，在大學的期末考試或者研究生入學考試中一般不會隻考察這一個知識點，往往需要結合其他的方法或者需要對式子進行化簡和變形。

點評：對于這種兩個分式差的表達式，對其進行化簡隻有一個方向，就是通分，通分後可以消掉為0的因子，然後利用極限的四則運算法則及函數的連續性即可求得。

點評：這個例題中的分子分母都是多項式，對于這一類題我們可以在分子分母上同時除以多項式的最高次幂，然後利用極限的四則運算法則進行計算，這一類題的結果有如下公式，利用這個公式的結論，沒有太大的難度。

2、利用函數連續性

初等函數在其定義域D内是連續的，若x∈D，則有

這種情況下，函數的極限值與函數值相等，因此隻需把數值代入函數表達式即可。但這種考題在考研的考試中不會直接出現，往往須與其他方法結合起來。

連續（圖片來自：視覺中國）

（1）分子分母出現為0的公因式

方法：先對分子分母進行因式分解，約掉為0因式後再根據連續性計算。

■注1 本題也可用洛必達法則。

（2）分子或分母含有無理式

方法：對含有無理式的函數，需要進行分子或分母有理化，再計算。

點評 無理式在分母上大家很容易想到分母有理化，而對這種看似不是分式的表達式，往往想不到要用有理化，但這這道題表達式可以看作分母為1的分式，然後進行分子有理化，再利用連續性可得到結果。

3、利用兩個重要極限

兩個重要極限是計算函數極限的重要方法，利用這兩個結論能有效的将許多複雜的極限變得簡化，從而能迅速計算出函數的極限。

第一個重要極限

第一個重要極限

第一個重要極限本身很簡單，但它存在多種形式的變形，這些變形後的公式在做題過程中可以直接應用。

第一個重要極限及其變形

■注2 函數形式中的□可以是滿足條件的任意函數。

第二個重要極限

第二個重要極限

第二個重要極限的變形

■注3 和第一個重要極限的變形類似，這兩個公式裡的x和u也可以是函數形式。

點評 第二個重要極限本身并不難，難的是如何湊出極限的形式，使得所湊的式子直接可以表示成e的幂函數形式。

解法一

點評 這個例題可以采用這兩種解法，第一種方法雖然分子分母分别計算極限，但在湊第二個重要極限時結構比較簡單；第二種方法在湊第二個重要極限時需要注意幂上的常數項。

4、無窮小量

利用無窮小量求函數極限主要有兩種方法：利用無窮小量的性質；利用等價無窮下的替換。

首先給出無窮小量的概念，這裡不給課本上嚴格定義，而是從理解的層面給出定義。

定義 某種趨近方式下，以零為極限的變量

■注4 這裡需要強調的是必須是變化的量，而不是很小的數，0的極限為0，因此0是常數中唯一的無窮小量。

（1）利用無窮小的性質

在計算極限過程中經常用到無窮小的性質：

• 性質1 有限個無窮小的代數和仍為無窮小。
• 性質2 有限個無窮小的乘積仍是無窮小。
• 性質3 有界函數與無窮小的乘積仍是無窮小。
• 推論 常數與無窮小的乘積仍是無窮小。

其中性質3是應用的最多的一條性質。

■注5 這道題中分子還可以是餘弦函數cosx，隻要式子可以變形成有界函數與無窮小量的乘積即可利用性質3。

點評：這是一道易錯題，很多同學看到這道題的時候一看表達式，立刻想到了第一個重要極限，忽略了自變量x的趨近方式，即使同一函數，不同的趨近方式下，極限也不相同。

（2）等價無窮小的替換

等價無窮小在計算函數極限時有非常重要應用，這種情況下所求函數往往是兩個無窮小量商的形式，利用等價無窮小的替換可以對表達式進行化簡，從而能夠快速的計算極限值。

我們需要記住一些常用的等價無窮小關系，如：

■注6 在利用等價無窮小求極限的過程中，因式之間是相乘或相除關系的無窮小量可以用各自等價無窮小替換，但加減号鍊接的無窮小量不能進行替換。

因此在上面的例題中，

■注7 以上3個例題均可以用洛必達法則。

5、利用洛必達法則

在前面運算中我們經常會碰到“0/0”及“∞/∞”型的極限，這兩種類型的極限我們無法直接利用四則運算法則求解，必須對其進行适當的化簡、變換，使其變成能夠利用四則運算的形式，再對其求極限。但化簡和變換非常麻煩，甚至有些時候無法化簡。

學習了導數就可以利用洛必達法則求極限了，洛必達法則主要針對的是“0/0”及“∞/∞”兩種未定式求極限，洛必達法則的定理内容這裡不再贅述，具體可參考任何一本高等數學教材。

（1）“0/0”型未定式

■注8 此例題中利用了兩次洛比達法則，最後利用了第一個重要極限。當所求極限中的函數比較複雜時，可以将前面的重要極限、等價無窮小代換等方法與洛必達法結合起來運用，并且在滿足條件的情況下，洛必達法則可以多次使用。

（2）“∞/∞”型未定式

■注9“∞/∞”型未定式求極限和“0/0”型類似，隻需在每次利用洛必達法則之前判斷是否依然滿足條件，隻要滿足條件就可以繼續使用洛必達法則，但洛必達法則并不總是有效的，比如下面的例題。

此極限不存在！而原來極限卻是存在的。正确做法是，首先将分子、分母同時除以x得

計算過程中用到了無窮小的性質3“有界函數與無窮小的乘積仍是無窮小”。

點評： 這個例題說明即使滿足洛必達法則，而且原函數的極限也存在，但利用洛必達法則也未必能計算出來，此時須采用其他方法計算。

（3）其他類型未定式

除了常見的0/0”和“∞/∞”型，還有“∞-∞”,“0·∞”,"∞^0”,“0^0”及“1^∞”等幾種未定式，這幾種未定式往往可以通過化簡轉換為“0/0”或“∞/∞”.

• “∞-∞”型往往可通過通分轉化成“0/0”型；
• “0·∞”型可通過化乘法關系為除法關系，轉換為“0/0”及“∞/∞”型；
• 對于"∞^0”,“0^0”及“1^∞”這幾種幂指函數求極限，可通過寫成對數形式後再求極限。

總結

上面對計算函數極限的常用方法進行總結，并且給出了每種題型的注意事項和應用技巧。求極限方法靈活多樣，而且許多題目不隻用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習，在練習中體會。由于篇幅有限，文章中給出的例題數量有限，歡迎大家私信提問遇到的難題，我将盡最大努力幫大家求解。數學漫談——專注數學教育，傳播數學文化，期待您的關注！

（原創内容、頭條首發、公式圖片原創）

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