一、連續函數的概念

已知函數 f（x）在 a 存在極限 b ， 即

連續函數的概念圖（1）

a 可能屬于函數 f（x）的定義域；也可能不屬于函數 f（x）的定義域，即使 a 屬于函數 f（x）的定義域，f（a）也不一定等于 b 。

但是，當 f（a）= b 時，函數有着特殊的意義 。

1、函數在某一點處的連續性:

定義 ： 設函數 f（x）在 U（a）有定義。若函數 f（x）在 a 存在極限，且極限就是 f（a）, 即

連續函數的概念圖（2）

則稱函數 f（x）在 a 連續 ， a 是函數 f（x）的連續點 。

一般地，函數 f(x) 在點 x0 處連續必須同時具備三個條件：

連續函數圖（1）

1、 f(x0) 存在，即函數 f(x) 在點 x0 處有定義 ；

2、

連續函數圖（2）

3、

連續函數圖（3）

例題1、讨論下列函數在給定點處的連續性。

例題1圖（1）

解：

例題1圖（2）

例題1圖（3）

例題2、觀察下列函數的圖象，說出函數在 x=a 處是否連續。

例題2圖（1）

例題2圖（2）

2、函數在某一點單側的連續性：

定義 ： 設函數 f（x）在以 a 為 左（右）端點的區間有定義。若

單側連續性圖

則稱函數 f（x）在 a 右連續 （左連續）。

結論：

① 函數在一點處連續的充要條件是既左連續又右連續 。

結論圖

② 開區間内連續 ：如果函數 f（x）在某一開區間 （a，b）内每一點處都連續，就說函數f（x）在開區間（a，b）内連續，

或說f（x）是開區間（a，b）内的連續函數。

③ 閉區間上連續：如果函數 f（x）在開區 間 （a，b）内連續，在左端點 x = a 處右連續，在右端點 x = b 處左連續，

就說函 數 f（x）在閉區間 [a , b ] 上連續。

二、閉區間上連續函數的性質：

閉區間連續函數的性質圖

性質1、（有界性）若函數 f（x）在閉區間 [ a , b ] 連續，則函數 f（x）在閉區間 [ a , b ] 有界，即 存在 M > 0 ,

對任意的 x ∈ [ a , b ] , 有 ∣f（x）∣ ≤ M 。

注：在半開區間 ( 0 , 1 ] ，連續函數 f（x）= 1/x 無界 。

性質2、（最值性）若函數 f（x）在閉區間 [ a , b ] 連續，則函數 f（x）在閉區間 [ a , b ] 能取到最小值 m 與最大值 M ，

即 存在 x1 , x2 ∈ [ a , b ] , 使 f（x1）= M ， f（x2）= m ，

且 對任意的 x ∈ [ a , b ] , 有 m ≤ f（x）≤ M 。

性質3、（零點定理）若函數 f（x）在閉區間 [ a , b ] 連續，且 f（a）f（b）< 0 ,（即 f（a）與 f（b）異号），

則在區間 （a , b）至少 存在一點 c ， 使 f（c）= 0 。

性質4、連續函數的運算性質同極限的運算性質（略）。

例題3、證明：方程 x = cosx 在 （0 ，π/2）内至少存在一個實根 。

證明 令 f（x）= x - cosx , 則函數 f（x）= x - cosx 在 [0 ，π/2 ] 連續，并且 f（0）= -1 < 0 ,

f（π/2）= π/2 > 0 . 根據零點定理 ，函數 f（x）= x - cosx 在 （0 ，π/2）内至少存在一點 c ，使

f（c）= c - cosc = 0 , 即 方程 x = cosx 在 （0 ，π/2）内至少存在一個實根 。

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