複合函數與函數的連續性。不相幹，是這兩件事沒有太多的聯系；共性，是這兩件事都在我們身邊反複發生，但是又沒好好地拿來說一說。不如就來聊一聊吧！

一、複合函數

中學的數學會介紹很多函數，包括一次函數，二次函數，反比例函數，幂函數，還有指數函數，對數函數，三角函數等，它們源于對現實世界中某一類變化規律的刻畫。函數的家族是非常龐大的，除了這些源于現實世界的函數，還可以通過一些特定的生成方式，在已知函數的基礎上來形成很多新的函數，而且這種構造是源源不斷的。

最容易想到的方式，當然是通過“運算”，就像通過兩個數的加減乘除産生新數一樣，也可以通過兩個或幾個函數的加減乘除的到一個新的函數。但是有沒有比較特别的方式呢？可以回到函數的定義來想一想。

如下圖所示，f：A→B是從數集A到B的函數，是指對于集合A中的任意一個數x，按照對應關系f，在集合B中有唯一的數u和它對應； g：B→C是指從數集B到C的函數，是指對于集合B中的任意一個數u，按照對應關系g，在集合C中有唯一的數y和它對應。

現在，先後經過兩次對應f和g，對于集合A中的任意一個數x，按照對應關系h，在集合B中有唯一的數y和它對應，所以h：A→C是一個函數。根據這種對應的關系，y=g(f(x)).

按照這種方式形成的函數叫做複合函數。例如函數u=f（x）=1 和y=g（x）=“複合”而成函數，即。同樣地，三個函數f（x）=，g(t)=，複合成函數，即

從複合函數的角度解決問題，很多時候會将複雜問題簡單化。

例如複合函數單調性的判斷法則是“同增異減”，即當一個複合函數的内層函數與外層函數單調性相同時，這個複合函數單調遞增；當一個複合函數的内函數與外函數單調性相反時，這個複合函數單調遞減。利用這個判斷法則，對于函數，内層函數f（x）=1 在[0, ∞)是單調遞增的，在（-∞，0]是單調遞減的；外層函數g(u)=在定義域内單調遞增。所以的單調性就是，在[0, ∞)是單調遞增的，在（-∞，0]是單調遞減的。

再如複合函數奇偶性的判斷法則是“有偶則偶，全奇再奇”，隻要各層函數中有一個是偶函數，那麼這個複合函數就是偶函數；隻有當各層函數都是奇函數時，這個複合函數才是奇函數。利用這個判斷法則，也可以通過判斷構成複合函數的兩個或多個簡單函數中的奇偶性來得到複合函數的的奇偶性。

可以說，“複合”不僅是生成函數的一種方式，而且複合函數還為研究更多函數提供了非常好的工具。至于複合函數單調性和奇偶性判斷法則的獲得與證明，根據函數單調性和奇偶性定義，你自己來試一試吧！

二、函數的連續性

随着大量函數的出現，有一個問題也随之而來，就是函數的連續性。在函數發展的早期，連續性并不是一個大問題，因為認識的函數範圍小，定義函數的很多數學家都以幾乎默認的态度認為函數一定是連續的。但是随着函數概念的不斷完善，構成并研究的函數種類越來越多，函數是否具有連續性就變成了一個非常重要而且基礎性的問題了。

看看下面的各種曲線，你覺得哪些是連續的，哪些不是？

函數圖象帶來函數的連續性的直觀觀念：如果函數的圖象是不斷開的曲線，那麼這個函數是連續的。但是關于函數連續性的嚴格的數學定義，就不是一件簡單的、容易理解的事情了。通俗地說，函數y=f(x)在x0點連續就是當x充分靠近x0時，f(x)能任意接近f(x0)。進而，如果函數y=f(x)在區間I的每一個點連續，那麼就稱這個函數在I連續。

連續性是函數非常重要的性質，具有連續性的函數是更容易把握和體驗的。回想一下，如何畫出函數圖象？基本步驟有三：列表，描點，連線。最後一步“連線”是用光滑曲線連接所畫出的點，你是否想過為什麼能夠直接畫出沒有描過的點呢？這裡用到的正是函數的連續性。因為中學所研究的幾類函數大都是連續函數，所以可以不間斷地連點成線。

連續函數還具有一些和我們直覺相符合得又好又重要的性質，舉兩個例子。

從直觀上說就是：如果一條連續曲線要由x軸下面的一個點，到x軸上面的一個點，那麼這條連續曲線必然在某一處穿過x軸。

從直觀上說就是：連續函數y=f(x)的圖象必然至少有一個最高點和一個最低點。

這兩個定理告訴我們連續函數在閉區間中的零點特性和最值存在。函數的零點可以用來研究方程，函數的最值（極值）可以用來解決很多優化問題，都是函數在其他領域發揮重要作用的工具和基礎特性。

當然，函數還有很多很多，種類多姿多彩、性質千姿百态。利用它們，就能解釋生活中出現的各種現象以及其他學科和分支中出現的各種問題。選一個自己喜歡的角度，去函數的世界探索吧！

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