搞定具體函數的定義域?求函數的定義域就是求使函數有意義的自變量的取值範圍,接下來我們就來聊聊關于搞定具體函數的定義域?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!
求函數的定義域就是求使函數有意義的自變量的取值範圍。
求函數的定義域常現的約束條件:
1、分母≠0;
2、偶次根式被開方數≥0;
3、零的零次方沒有意義;
4、對數真數>0;
5、最後求交集,寫成集合或是區間。
6、應用問題還看實際背景,比如整數,這也是常被遺忘的,比如出現2/3人這樣的結果。
7、抽象函數的定義域隻要記住一點,即f後括号裡的範圍相同。即f(x)中的X和f(g(x))中的括号裡的g(x)茫圍相同,再者定義域就是求X的取值範圍。
最易出錯的是:
1、根指數奇偶不分。根指數是偶數的被開方數為非負數,根指數為奇數的被開方數是實數。常見錯誤是一律≥0。
2、幂指數是0的,不考慮底數不能為0;
3、抽象函數定義域的求法常出錯。
4、實際應用忽略背景。
一、給出解析式,求定義域
例:求函數f(x)=√(X 1)/(X 2)的定義域。
[解析]
被開方數X≥0且分母X 2≠0,寫定義域時易寫為{x丨x≥0且x≠一2},錯誤原因是:交集寫錯了,一2本身不在X≥0内。正确寫法為{x|x≥0},或寫為[0, ∞);
[同步跟蹤]求函數f(x)=√(Ⅹ 3) 1/(X 1)的定義域。
[易錯警示]解法同例,但一1在X≥一3内,故寫為{X丨X≥一3且X≠一1}。
二、已知定義域,求參數的取值範圍。
例:已知函數f(x)=√(mⅩ² mⅩ 1)的定義域為R,求實數m的取值範圍。
[思路探尋]已知定義域為R,解釋為對任意實數×,mX² mX 1≥0恒成立。分兩類求解:當m=0時,1≥0恒成立,即m=0符合要求;當m≠0時,對應y=mX² mⅩ 1圖象恒在x軸上方或與x軸有一個交點,即m>0且△=m²一4m≤0,解得0<m≤4,綜上所述,函數的定義域為{x|0≤m≤4}。
[易錯警示]這是一道以函數的定義域為載體求參數的取值範圍的題,又隐含二次項的為0,需分類讨論然後求并集。學生常常錯誤地習慣寫出△≤0,既不考慮是否為二次不等式,是二次不等式又不考慮抛物線開口方向。
三、求抽象函數的定義域
例:已知f(X)的定義域為[O,2],求函數y=f(2x)/(X一1)的定義域。
[思路探尋]這是一道抽象函數的定義域問題。習慣了有解析式的函數,看到抽象函數就有點怕,不知道從何處着手。遇到抽象函數,我們用原始定義對付他就行。記住兩點:①定義域是自變量X的取值範圍;②f()括号裡的不管是X還是x一1還是其他代數式,總的範圍是相同的。
[解析]:0≤2X≤2且x一1≠0,解得0≤X<1。所以函數的定義域為{×|0≤x<1}。
解題過程中有一個求交集的過程,定義域要用集合表示。
[遷移1]已知f(X 3)的定義域為[一5,一2],求f(x)的定義域。
[思路探尋]一5≤x≤一2是Ⅹ的範圍還是(X 3)的範圍,是解題關鍵。由定義知定義域是自變量X的取值範圍,所以應是x的範圍。而所求的f(X)的定義域,恰好是(X 3)的取值範圍。
[解析]:因為一5≤x≤一2,所以一2≤x 3≤1,所以函數f(X)的定義域為{x丨一2≤×≤1}。
[遷移2]已知f(X 3)的定義域為{Xl一5≤x≤一2},求y=f(X 1)一f(x一1)的定義域。
[思路探尋]這也是一道求抽象函數的定義域。進一步抽象不告訴y=f(×)的定義域,所以解答過程中隐含求y=f(x)的定義域。這是從抽象到抽象。記住我上題說過的,再強調一次:①求定義域就是求自變量X的取值範圍;②f()括号裡的不管什麼代數式,範圍都一樣。
[解析]:因為一5≤x≤一2,所以一2≤x 3≤1,所以函數f(X)的定義域為{x丨一2≤×≤1},由一2≤× 1≤1且一2≤X一1≤1,求得一1≤x≤0,所以函數的定義域為[一1,0]。
[同步跟蹤]已知函數y=f(X 1)的定義域為[一2,3],求y=f(Ⅹ²)的定義域。
[參考答案][一2,2]
熟悉了具體和抽象兩類函數的定義域的求法,對函數的認識是不是不那麼陌生了,高中數學的學習就是這樣一步一步地走向深入的。
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