狄拉克方程由英國物理學家保羅·狄拉克于1928年推導出來，僅在薛定谔提出他著名的薛定谔方程兩年後，該方程如今已成為量子場論的核心方程之一。

為了了解狄拉克方程，我們首先要了解他試圖解決什麼問題。要做到這一點，我們必須回到1905年，愛因斯坦用他的狹義相對論改變了世界。他提出了光速不變原理，光速是我們無法跨越的速度極限。此外，他将空間和時間統一起來引入了時空。他意識到，要描述接近光速運動的物體，我們必須将時空視為一個統一的實體。因此，我們必須平等對待空間和時間。

這是薛定谔方程問題的症結所在。如果我們看一下沒有任何勢力的薛定谔方程，也就是自由粒子的方程：

我們會看到在方程左邊有一個關于空間的二階導，由拉普拉斯算子表示。而在方程右邊，我們有一個關于時間的一階導數，因此薛定谔方程沒有平等地對待空間和時間。這就是薛定谔方程不适用于描述時空的原因，因此也不适用于描述快速運動的物體。這意味着薛定谔方程無法與相對論方程兼容，不能正确描述接近光速運動的物體。

與薛定谔方程大約在同一時間，有一個量子方程可以兼容相對論，它就是克萊因-戈登方程。最初在1926年提出它可以描述電子，然而事實并非如此，我們發現的唯一遵從克萊因-戈登方程的粒子是希格斯玻色子。這個方程可以寫成如下形式：

關于這個方程的重要一點是，現在時間是二階導，空間也是二階導。因此，該方程将空間和時間平等對待，所以它可以作為考慮時空的相對論方程。

然而，克萊因-戈登方程的問題在于它不能描述電子，它描述了自旋為0的粒子，如希格斯玻色子。克萊因-戈登方程的問題之一是它是二階的。我們都知道，如果取一個實數并平方它，那麼會得到一個正數。例如2的平方和-2的平方都等于4，但我們不知道最初哪個符号是正确的，因此我們會丢失信息。

事實證明，描述半整數自旋的粒子的方程是一階的，因此關于時空隻有一階導數，而不是二階導。然而這個二階結果是相當自然的，因為在狹義相對論中能量本身的定義是二階的。解決方案似乎很簡單，我們隻需對克萊因-戈登方程取平方根。然而事實證明，我們正在尋找的一階方程實際上是一個具有虛數的複合方程，而克萊因-戈登方程隻有實數分量。

這就是狄拉克方程的背景故事，讓我們看看狄拉克是如何解決它的。正如我們已經意識到的那樣，解決方案是以某種方式取克萊因-戈登方程的平方根。最初狄拉克提出了以下解決方案：

首先，這個方程有點像薛定谔方程，也有點像克萊因-戈登方程。因為在這種形式下，它基本上就是薛定谔方程和克萊因-戈登方程的平方根的雜交。在方程等号的左邊，P表示的是動量算子，動量的定義是空間分量的一階導數。在方程等式的右邊，它看起來就像薛定谔方程，有時間分量的一階導數。因此，在這個方程中，空間和時間都是一階的，這正是我們需要的。這是狄拉克最初的提議，也是最初的狄拉克方程。

但是我們仍然沒有真正解決這個問題，因為我們沒有弄清楚β和α1、α2、α3的值應該是多少才能讓方程起作用。事實證明，這兩個參數是費米子方程的魔力。他們最終代表一個自旋向上和自旋向下的粒子，以及一個自旋向上和自旋向下的反粒子。因此，狄拉克用他的方程預測了反粒子。

最初沒有人相信這樣的反粒子，因此一緻認為狄拉克方程是錯誤的。但是，僅僅幾年後的1932年，正電子或反電子就被發現，完全符合狄拉克方程的預測。在現代，我們用所謂的伽馬矩陣來編寫狄拉克方程，可以通過求解β和α參數獲得這些矩陣。

在這些伽馬矩陣的幫助下，我們可以用更熟悉和緊湊的形式編寫狄拉克方程，而無需這些神秘的β和α參數：

此外，這種寫法沒有Σ符号，利用愛因斯坦的規則“重複指标表示求和”，其中重複的是上指标和下指标μ。μ代表的是時空的每個分量：t和x、y、z分量。

狄拉克方程最重要的方面之一可能是對反物質的預測，這個方程後來成為QED基礎的一部分，這是有史以來最好的量子場論之一。

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