統計整數m和n?之前曾發文《怎樣比較n的（n 1）次方與（n 1）的n次方的大小》，以及《n的（n 1）次方與（n 1）的n次方再比較》，下面我們就來說一說關于統計整數m和n?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!
之前曾發文《怎樣比較n的（n 1）次方與（n 1）的n次方的大小》，以及《n的（n 1）次方與（n 1）的n次方再比較》。
對任意兩個正整數m和n，若n>m，怎樣比較m^n與n^m的大小，是本文所要讨論的。
一、如果m=1，則1^n=1，n^1=n，1^n<n^1，這太簡單了。
二、如果m=2，則2^3<3^2；2^4=4^2；n≥5時，2^n>n^2.
三、如果m≥3，可設k=n/m，顯然k>1.
m^n=m^（km）=（m^k）^m
n^m=（km）^m
所以，可通過探究m^k一km，比較m^k與km的大小，來判定m^n與n^m的大小。
△考查函數y=a^x一ax（a>0，a≠1）
x=1時，y=0
函數y=a^x一ax的導數
y'=a^xlna一a
a≥3時，在區間（1， ∞）上，y'>0，說明在區間[1， ∞)上，y=a^x一ax為單調增函數。
可見，a≥3且x>1時，y=a^x一ax>0.
△當m≥3時，把m^k一km套用于函數y=a^x一ax，因為k>1，所以m^k一km>0，從而得到
（m^k）^m一（km）^m>0
m^n一n^m>0，即
m^n>n^m
△現在，若要比較47^48與48^47、59^103與103^59、17453^17456與17456^17453等等，就不費吹灰之力了。
△謝閱讀，請指教。
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