複數的立方根是一個老大難問題。下面是老黃的一點總結，希望對大家有用！

對複數z=a bi，當b=0時，它是一個實數。實數的立方根在實數的範疇上是唯一的，即z=a的立方根是三次根号a. 但在複數的範疇上，每一個實數都有三個立方根。

特别的，設(x yi)^3=1, 則x^3-3xy^2 (3x^2y-y^3)i=1, 即x^3-3xy^2=1, 3x^2y-y^3=0. 由後式有y=0或3x^2=y^2. 當y=0時，x yi=1；當y^2=3x^2時，有x^3-9x^3=1，解得x=-1/2，y=正負根号3/2. 因此1的立方根有1和-1/2 根号3 i/2或-1/2-根号3 i/2.

從而，z=a屬于實數，有三個立方根，分别是三次根号a和三次根号a (-1/2加減根号3 i/2).

當a=0時，複數z=bi. 特别的，設(x yi)^3=i. 則x^3-3xy^2 (3x^2y-y^3)i=i, 即x^3-3xy^2=0, 3x^2y-y^3=1. 由前式有x=0或，x^2=3y^2. 當x=0時，x yi=-i；當x^2=3y^2時，有9y^3-y^3=1，解得y=1/2，x=正負根号3/2. 因此i的立方根有-i和-根号3/2 i/2或根号3/2 i/2.

從而，z=bi，有三個立方根，分别是-三次根号b i和三次根号b (正負根号3/2 - i/2).

當a=b=c不等于0時，z=c ci. 特别地，設(x yi)^3=1 i, 則x^3-3xy^2=3x^2y-y^3=1.

x^3 y^3=3xy(x y), 即(x^2-4xy y^2)(x y)=0. 若x=-y, 則3y^3-y^3=2y^3=1，y^3=1/2.

y=三次根号(1/2)或三次根号(1/2)*(-1/2 根号3 i/2)或三次根号(1/2)*(-1/2-根号3 i/2).

x=-三次根号(1/2)或三次根号(1/2)*(1/2-根号3 i/2)或三次根号(1/2)*(1/2 根号3 i/2).

從而z=c ci有三個立方根，分别是：(若x^2-4xy y^2=0會得到相同的結果，下同)

-三次根号(c/2)*(1-i)或三次根号(c/2)*((1/2-根号3 i/2) (-1/2 根号3 i/2)i)或三次根号(c/2)*((1/2 根号3 i/2) (-1/2-根号3 i/2)i).

化簡得：-三次根号(c/2)*(1-i)或三次根号(c/2)*((1/2-根号3 /2)-(1/2 根号3 /2)i)或三次根号(c/2)*((1/2 根号3/2)-(1/2-根号3 /2)i).

當a=-b=c時，z=c-ci. 特别地，設(x yi)^3=1-i, 則x^3-3xy^2=y^3-3x^2y=1.

x^3-y^3=-3xy(x-y), 即(x^2 4xy y^2)(x-y)=0. 若x=y, 則y^3-3y^3=-2y^3=1，y^3=-1/2.

y=-三次根号(1/2)或三次根号(1/2)*(1/2-根号3 i/2)或三次根号(1/2)*(1/2 根号3 i/2).

x=-三次根号(1/2)或三次根号(1/2)*(1/2-根号3 i/2)或三次根号(1/2)*(1/2 根号3 i/2).

從而z=c-ci有三個立方根，分别是：

-三次根号(c/2)*(1 i)或三次根号(c/2)*((1/2-根号3 i/2) (1/2-根号3 i/2)i)或三次根号(c/2)*((1/2 根号3 i/2) (1/2 根号3 i/2)i).

化簡得：-三次根号(c/2)*(1 i)或三次根号(c/2)*((1/2 根号3 /2)) (1/2-根号3 /2)i)或三次根号(c/2)*((1/2-根号3 /2) (1/2 根号3 /2)i).

事實上，利用“共轭複數的方根也共轭”，就可以直接由c ci的三次方根得到c-ci的三次方程了。接下來要将任意複數z=a bi求三次方根。隻能引入三角函數的反三角函數了。

記 z=根号(a^2 b^2)(cosθ isinθ), 其中θ=2kπ arcsin(b/根号(a^2 b^2)) (k是整數). 特别的，當根号(a^2 b^2)=1時，z=(cosθ isinθ)，三次根号z=三次根号(cosθ isinθ)=e^(θi/3)=cos(θ/3) isin(θ/3).

因此z=a bi的三次方根是六次根号(a^2 b^2)*(cos(θ/3) isin(θ/3))，其中θ=2kπ arcsin(b/根号(a^2 b^2)) (k是整數).

k取不同的值，就會得到z的不同的三次方根。老黃認為，取 k=-1，0, 1. 得到三個三次方根比較合适。最後這步，老黃想盡辦法，想繞過三角函數，直接用根式表示，但始終沒有做到。不知道聰明的您能不能做到呢？

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