"代數"這個詞本身起源于9世紀的波斯的數學家、天文學家以及地理學家花拉子米，大約生于公元780年，逝于850年。對應到我們中國就是中唐和晚唐時期的人物，和柳宗元、白居易以及韓愈是同時代的人。

花拉子米

這個花生米他到底有什麼貢獻呢？花拉子米的一大貢獻是寫了一本名叫《代數》的書，在這本書裡，他第一次系統地解決了一次方程還有一元二次方程的問題，所以他也成為代數學的創造者。雖然在公元前2000年的時候，古巴比倫人就已經演化出了一些方程的解法，我國在公元50年左右寫成的《九章算術》中，也已經提出了一些方程的解法，但是在花拉子米之前的各種解法都不夠系統，隻能對于一些特定的方程有用。公元823年左右，花拉子米從印度回到波斯後，第一次明确地提出了二次方程的解法，而且還提出了我們現在經常用到的"移項"、"合并同類項"等等方法。這些方法在《代數》這本書裡确定下來以後，一直用到現在。甚至英語中"代數"這個詞algebra，其實就來自于花拉子米的這本書的書名，它是把原來阿拉伯文的書名轉寫成了拉丁文，進而轉寫成了現在英文裡的寫法。而英文裡"算法"這個詞algorithm，其實就是花拉子米的名字在英文裡的轉寫。從這兒我們就足以看出花拉子米絕非等閑之輩。

花拉子米的《代數》

在數學學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，從而構建等量關系，這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數量關系因幾何直觀而形象化．下面我們通過實例來看一下花拉子米的一元二次方程面積解法特色吧。

例1．閱讀材料後再解答問題：

古代絲綢之路上的花刺子模地區曾經誕生過一位偉大的數學家--"代數學之父"阿爾•花拉子米．

他利用正方形圖形巧妙解出了一元二次方程x² 2x﹣35＝0的一個解．

[阿爾．花拉子解法]将邊長為xm的正方形和邊長為1的正方形，外加兩個長方形，長為x，寬為1，拼合在一起面積就是x² 2•x•1 1•1，而由x² 2x﹣35＝0變形及x² 2x 1＝35 1（如圖所示）即左邊邊長為x 1的正方形面積為36．所以（x 1）²＝36，則x＝5．

你能運用上述方法構造出符合方程x² 8x﹣9＝0的一個正根的正方形嗎？試一試吧!

【分析】因為x² 8x﹣9＝x² 8x 16﹣25＝0，所以x² 8x 16＝25，即（x 4）²＝25，由此可以構造出邊長為x 4的正方形，然後可以得到x 4＝5即可解題．

【解答】如圖所示，大正方形邊長為x 4，

四個面積和為x² 4x 4x 16＝x² 8x 16，

而x² 8x﹣9＝x² 8x 16﹣25＝0．

所以x² 8x 16＝25，即x 4＝5，所以x＝1．

變式1.你知道古代數學家怎樣解一元二次方程嗎？以x²﹣2x﹣3＝0為例，大緻過程如下：

第一步：将原方程變形為x²﹣2x＝3，即x（x﹣2）＝3．第二步：構造一個長為x，寬為（x﹣2）的長方形，長比寬大2，且面積為3，如圖1所示．第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖2所示．第四步：計算大正方形面積用x表示為 ．由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程 ，兩邊開方可求得：x₁＝3，x₂＝﹣1．

（1）第四步中橫線上應填入 ．

（2）請參考古人的思考過程，解方程x²﹣x﹣1＝0．

【分析】（1）根據題意先表示出大正方形的邊長再根據正方形的面積公式即可得出大正方形面積；

根據題意先得出小正方形的邊長，再根據大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，即可得出答案；

（2）先将原方程變形，構造出一個長為x，寬為（x﹣1）的長方形，長比寬大1，且面積為1，再用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，然後根據大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得出一個方程，兩邊開方，即可求出方程的解．

【解答】（1）∵大正方形的邊長是[x （x﹣2）]，

∴大正方形面積是：[x （x﹣2）] ²＝（2x﹣2）²；

∵小正方形的邊長是：[x （x﹣2）]﹣2（x﹣2）＝2，長方形的面積為3

又∵大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，

∴（2x﹣2）²＝4×3 2²＝16；

故答案為：（2x﹣2）²；（2x﹣2）²＝4×3 22；

（2）第一步：将原方程變形為x2﹣x＝1，即x（x﹣1）＝1．

第二步：構造一個長為x，寬為（x﹣1）的長方形，長比寬大1，且面積為1．

第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形．

第四步：計算大正方形面積用x表示為[x （x 1）]2．

【點評】此題考查了一元二次方程的應用，用到的知識點是長方形、正方形的面積公式，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合适的等量關系，列出方程．

變式2．我們常用"去分母法"将分式方程轉化為整式方程，然而古代數學家斐波拉契在《計算數學》中運用"幾何代數"法，即運用面積關系将分式方程轉化為整式方程，從而求解分式方程的根．請同學們先閱讀材料，再解答問題：

【分析】與花拉子米的面積法求解一元二次方程方程的解法，異曲同工之妙，我們也可以利用面積方法求解特殊的分式方程的根。

（1）根據題意即可得到結論；

（2）根據題意得到矩形EHGD的面積＝5（x 2），矩形EHGD的面積＝30﹣5x，根據矩形的面積公式得到AH＝CG＝（30-5x）/2然後根據矩形的面積公式列方程即可得到結論；

【嘗試】構造圖形如右圖3，根據矩形FGHE與矩形BCIH的面積相等，列方程得到CI＝BH＝5x/4，根據矩形的面積公式列方程即可得到結果．

【解答】（1）a＝60，b＝20；

（2）由題意知，矩形EHGD的面積＝5（x 2）；

矩形EHGD的面積＝30﹣5x；

從而AH＝CG＝（30-5x）/2,

因為矩形ABFH的面積為20所以（30-5x）/2•x＝20，解得x＝2或x＝4；

【嘗試】構造圖形如右圖3，AB＝x，CA＝x 2，矩形ABEF和矩形ACIG的面積均為60，ID＝FG＝5/2，則BC＝2，矩形FGHE與矩形BCIH的面積相等，

∴5x/2＝2BH，∴CI＝BH＝5x/4，

∴矩形ACIG的面積＝AC•CI＝（x 2）•5x/4＝60，

∵x＞0，解得：x＝6．

【點評】本題考查了矩形的性質，矩形的面積公式，解分式方程，正确的理解題意是解題的關鍵．

牛刀小試：

1．對于一元二次方程，我國及其他一些國家的古代數學家曾研究過其幾何解法，以方程x² 2x﹣35＝0為例，公元9世紀，阿拉伯數學家阿爾•花拉子米采用的方法是：将原方程變形為（x 1）²＝35 1，然後構造如圖，一方面，正方形的面積為（x 1）²；另一方面，它又等于35 1，因此可得方程的一個根x＝5，根據阿爾•花拉子米的思路，解方程x²﹣4x﹣21＝0時構造的圖形及相應正方形面積（陰影部分）S正确的是（ ）

【解析】利用配方法把方程變形，結合圖形解答．選C．

2. 【研究方程】

提出問題：怎樣圖解一元二次方程x² 2x﹣35＝0（x＞0）？

幾何建模：

（1）變形：x（x 2）＝35．

（2）畫四個長為x 2，寬為x的矩形，構造圖2

（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，（x x 2）²或四個長x 2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積．

即（x x 2）²＝4x（x 2） 2²

∵x（x 2）＝35，∴（x x 2）²＝4×35 2²，∴（2x 2）²＝144

∵x＞0，∴x＝5

歸納提煉：求關于x的一元二次方程x（x b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．

要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關線段的長）

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