同學們好，我是李狀元數學課的李老師，講人人都聽得懂的高中數學課。

上節課我們用高考後的表白的例子說了一下什麼是集合和元素，集合的三個特性，大家還記得嗎？

集合有确定性、互異性、無序性三個特性。

今天我們繼續往下看集合的知識。

我們說集合裡的元素是确定的，那麼想一想，一個集合可能有多少個元素呢？

答案是從0到正無窮都有可能。如果一個集合裡沒有元素，我們把它叫做“空集”。

又比如，所有的正整數可以組成一個集合，這個正整數集的元素個數就有無窮多個。類似地，自然數集、有理數集、實數集這些集合，元素也都有無窮多個。

上節課我們說了，你和你的同班同學其實也可以作為元素組成一個集合，集合裡的元素是包羅萬象的，但是我們數學裡研究得最多的，還是數集和點集兩種，意思就是集合的元素是數或者點。

一個元素在不在一個集合裡，或者說元素a屬于還是不屬于集合A，我們用一個專門的符号來表示。這就是元素和集合之間的關系。我們可以根據一個集合的定義，判斷某個元素是否屬于這個集合。

舉個例子，0這個數屬于正整數集嗎？很容易判斷出來，不屬于，0不是正整數。

上面是說元素和集合的關系，還有一個就是我們要判斷集合與集合之間的關系。

比如一個集合A是你們學校的高三一班，元素是高三一班裡的所有同學；集合B是高三年級，元素是高三年級的所有同學。那麼我們會發現，這兩個集合有包含的關系。就是集合B比集合A要大，集合A裡的所有元素都在集合B裡。因為一個同學隻要是高三一班的，他當然就是高三年級的。

這種情況下，我們就說集合B包含集合A，或者說集合A包含于集合B。還有一種表述，集合A是集合B的子集。

要注意區分一下剛才說到的兩個概念，就是屬于和包含的區别。屬于是說元素和集合的關系，包含是說集合和另一個集合的關系。

除了包含，兩個集合還能有什麼關系呢，大家思考一下？

思考的時候我們可以像上節課一樣，畫兩個圈，分别代表集合A和B。那麼畫一畫這兩個圈，看看有哪幾種位置關系，我們就知道兩個集合可以有哪幾種關系了。這種圈圈圖其實有專門的名字，叫做Venn圖。

比如剛才說的包含，就是一個大的圈包住了一個小的圈。

如果兩個圈相互分離，沒有重疊的部分，也就是沒有任何公共的元素，這也是一種關系。

還有就是兩個圈可能有一部分重疊。就是有一些元素既屬于集合A又屬于集合B，但集合A和集合B還各自有一部分獨有的元素。

在這種情況下，我們就把這個圈的交叉部分定義為一個新的集合，叫做A與B的交集，寫成“A∩B”。注意了，“A∩B”是一個集合，其中的元素就是集合A與集合B的公共元素。

除此之外我們還定義一個另一個新的集合，就是一個元素不管屬于集合A還是屬于集合B，我們都放到這個新的集合裡，那麼這個集合就叫做A與B的并集，寫成“A∪B”。

好了，今天我們講了元素和集合之間的關系，也就是屬于或者不屬于的關系。

還有集合和集合之間的關系，有一種是包含的關系。

更重要的是，集合的交集與并集：

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集；

由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的并集。

同學們明白了嗎？下課！

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