一道初中幾何題-求梯形的内部線段的長
在等腰梯形ABCD中， 兩個底為AB和CD， 其中AB=500， CD=650， 腰長AD和BC的長為333，∠A和∠D的角平分線相交于點P，∠B和∠C的平分線相交于點Q，求PQ的長度。
解法1： 如圖做輔助線 PM垂直于AB， PN垂直于DC， PS垂直于AD，根據角度平分線的性質， 有PM=PS=PN， 另外AB平行于DC，顯然M，P， N三點共線。
由于AB和DC平行，内錯角之和為180°，即：
∠DAB ∠ADC=180°，而對應的一半角之和為90°，即：
∠DAP ∠ADP=90°
所以∠APD=180°-90°=90°， PQ的延長線與AD和BC的交點分别是T 和V，
根據P和Q的對稱性， 顯然PQ平行于DC，且PT=QV
那麼PT和QV是直角三角形APD和直角三角形BQC斜邊上的中線， 即：
PT=QV=333/2,
T和Q既然是腰的中點，那麼TV就是梯形的中線：所以
TV=（500 650）/2=575
最後PQ=TV-PT-QV=575-333/2-333/2=242
解法2： 如圖，延長AP和BQ與底邊分别相交于W和X，PW he QX 的交點為Z，
由于DP垂直于AW， 且有AD=AW， 所以DW=333， 同理CX=333
XW=DW CX-CD=333 333-650=16,
由于三角形ZXW相似于三角形三角ZBA， 所以：
此外三角形ZPQ和三角形ZQB相似， 且PQ為中位線，根據上面的比可以算出兩個三角形的高所對應的比可以計算出，首先ZY的高所占的比例份數為：
500
而ZF的高度所占的比例份數為：
(500 16)/2-16=242，
PQ/AB=ZF /ZY
帶入上面的比例即：
PQ/500=242/500
PQ=242
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