在高中，我們學過正弦函數，也知道一些特殊角度的正弦數值，如sin90°=1，sin60°= ，sin45°= ，sin30°=0.5。但是對于其他非特殊角度的正弦值，我們就不太好計算了。
最近，我在圖書館看到一本國外的科普書《天啊，幾何還能這樣學》，裡面就聊到如何快速手算任意角度的正弦值，方法很新穎，也很有效果，如下圖所示。
這種方法的原理是，當角度很小時，該角度所對的圓弧與半徑的比值與正弦值非常接近，誤差很小。這時，計算正弦值就轉換為計算圓弧與半徑的比值。
如下圖所示，點A為圓心，AB、AD為圓的半徑，BD是角A所對應的圓弧，BC垂直AD于C。當角A很小時，圓弧BD與線段BC的長度就非常接近。
假設AB=R，于是sinA°=BC/AB BD/AB=BD/R。
又因為BD=2R（A/360），于是sinA°BD/R=（A/360）=A /180。
接下來，我們就能夠求出任意角度的正弦值：
一、求sin1°~sin15°。因為sinA°BD/R=2 （A/360）=A /180，于是：
1、sin1°=1* /180=0.01745。
（查正弦表可知，sin1°=0.01745……，這時兩者小數點5位以内數值都是一緻的）
2、sin2°=2* /180=0.03491。
（查正弦表可知，sin2°=0.03489……，這時兩者小數點3位以内數值都是一緻的）
3、sin10°=10* /180=0.17453。
（查正弦表可知，sin10°=0.17364……，這時兩者小數點2位以内數值都是一緻的）
3、sin15°=15* /180=0.26180。
（查正弦表可知，sin15°=0.25881……，這時兩者小數點1位以内數值都是一緻的，這時誤差為（0.26180-0.25881）/0.25881=1.15%，這個誤差還是相對比較小的，屬于可接受範圍。）
二、求sin15°~sin30°。1、sin30°=30* /180=0.52360。
（我們知道sin30°=0.5，這時依據上述方法算出來的誤差為（0.52360-0.5）/0.5=4.72%，這個誤差已經很大了，是無法接受的。）
2、這時為了降低誤差，我們需要利用勾股定理求出15度角的正弦值（sin15°）。
已知AB=AD，AC垂直于BD，角BAC=角DAC=15°，角BAE=30°，BE垂直于AD，于是BC=CD。
因為角BAE=30°，所以BE= AB，AE= AB，ED=AD-AE= AB。
在三角形BED中， 。
可計算得出： 。
于是sin15°=BC/AB= =0.258819……=0.259（取3位小數）
又sin30°=0.5，所以（sin30°-sin15°）/15=0.01608=0.016（取3位小數）
15°~30°，我們認為角度在增加，正弦值也随之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值随之增加0.016。
3、于是：
sin15°=0.259
sin16°=0.259 0.016=0.275
……
sin20°=0.259 0.016*5=0.339
（查正弦表可知，sin20°=0.342……，誤差很小）
……
sin25°=0.259 0.016*10=0.419
（查正弦表可知，sin25°=0.422……，誤差很小）
……
三、求sin30°~sin45°。1、sin30°=0.5，sin45°= （取3位小數）
2、（sin45°-sin30°）/15=0.01608=0.0138=0.014。（取3位小數）
3、30°~45°，我們認為角度在增加，正弦值也随之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值随之增加0.014。
4、于是：
sin30°=0.5
sin31°=0.5 0.014=0.514
……
sin35°=0.5 0.014*5=0.570
（查正弦表可知，sin35°=0.5735……，誤差很小）
……
sin40°=0.5 0.014*10=0.640
（查正弦表可知，sin40°=0.6427……，誤差很小）
……
sin44°=0.5 0.014*14=0.696
（查正弦表可知，sin44°=0.69465……，誤差很小）
四、求sin45°~sin90°。1、如下圖，在直角三角形ABC中，角C是直角，角A 角B=90°。
2、于是 ： ，等式兩邊同時除以 。
3、可得 。
4、于是
5、于是：sin46°= =0.718
（查正弦表可知，sin46°=0.71933……，誤差很小）
……
sin50°= =0.768
（查正弦表可知，sin50°=0.76604……，誤差很小）
……
sin65°= =0.908
（查正弦表可知，sin65°=0.90630……，誤差很小）
……
sin75°= =0.966
（查正弦表可知，sin75°=0.96592……，誤差很小）
……
sin80°= =0.985
（查正弦表可知，sin80°=0.98480……，誤差很小）
……
好了，這種方法就介紹到這裡了。
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