導數證明不等式的題目-tft每日頭條

導數證明不等式的題目

生活更新时间:2025-02-05 01:48:03

函數不等式的證明由于其形式多變，方法靈活，成為了近幾年高考的一個熱點與難點，它一般出現在壓軸題的位置，解決起來比較困難．利用導數作為工具進行證明是證明函數不等式的一種常見方法，本專題總結了利用導數證明一個未知數的函數不等式的常見方法，希望同學們看後有所收獲，提升利用導數證明函數不等式的能力．

模塊1 整理方法提升能力

對于一個未知數的函數不等式問題，其關鍵在于将所給的不等式進行“改造”，得到一平一曲、兩曲兩種模式中的一種．

當出現一平一曲時，隻需運用導數求出“曲”的最值，将其與“平”進行比較即可．

當出現兩曲時，如果兩個函數的凸性相同，則可以考慮通過曲線進行隔離．由于隔離曲線的尋找難度較大，所以我們一般希望兩個函數的凸性相反．當兩個函數的凸性相反時，則可以尋找直線（常選擇公切線或切線）實現隔離放縮，當然最理想的直線狀态是該直線與軸平行或重合．

當改造的過程中出現一斜一曲時，一般要将其繼續改造，要麼将其化歸到一邊，轉化為一平一曲，要麼将其轉化為兩曲．

常用不等式的生成

導數證明不等式的題目（利用導數證明函數不等式）1

生成一：利用曲線的切線進行放縮

導數證明不等式的題目（利用導數證明函數不等式）2

利用切線進行放縮，能實現以直代曲，化超越函數為一次函數．

生成二：利用曲線的相切曲線進行放縮

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例1

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例2

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例3

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練習鞏固整合提升

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模塊3 整理方法提升能力

對于兩個未知數的函數不等式問題，其關鍵在于将兩個未知數化歸為一個未知數，常見的證明方法有以下4種：

方法1：利用換元法，化歸為一個未知數

方法2：利用未知數之間的關系消元，化歸為一個未知數

方法3：分離未知數後構造函數，利用函數的單調性證明

方法4：利用主元法，構造函數證明

對數平均值不等式鍊

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例1

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例2

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例4

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模塊4 練習鞏固整合提升

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