三角形的三邊關系為任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。在其中一條邊的角度來看，我們可以概括為三角形中任意一條邊大于另外兩邊之差，且小于另外兩邊之和。對于三邊關系的運用，我們通常會遇到以下幾種情況。

一、判斷三條線段能否組成三角形

判斷三條線段能否組成三角形，需要利用三邊關系。我們可以總結為以下三種方法。

（1）找出其中最長邊，隻需判斷是否小于另外兩邊之和。

（2）找出其中最短邊，隻需判斷是否大于另外兩邊之差。

（3）使用任意一條邊，隻需判斷其是否小于另外兩邊 之和，且大于另外兩邊之差。

例1 下列各組分别是三根木棒的長度，其中能構成三角形的是（）

A.4 cm，7 cm，3 cm

B.2 cm，2.5 cm，5 cm

C.4.5 cm，10 cm，5 cm

D.7 cm，8 cm，9 cm

解析：根據三角形三邊關系，以及上面總結的方法，可以很容易得出答案D。

二、判斷三角形邊長的取值範圍

例2 若一個三角形的兩邊長分别為3 cm、6 cm，則它的第三邊的長可能是（）

A.2cm B.3 cm C.6 cm D.9 cm

解析：根據三角形三邊關系，對于任意一條邊，大于另外兩邊之差，且小于另外兩邊之和，即大于3 cm，小于9 cm。故答案為C。

三、最值問題

1.最小值.

問題：如圖，已知點A，B在直線MN的同側，在直線MN上确定一點P，使AP BP有最小值。

作法：過A點作關于直線MN的對稱點A1，連接A1和B點，與直線MN的交點P即所求（也可作B點關于直線MN的對稱點，并與A點相連）,且AP BP最小值等于A1B。

證明思路：在直線MN上任取一點P1(不與P點重合)，連接AP1，BP1，A1P1，隻需證明AP1 BP1>AP BP即可。

根據對稱知識可知AP=A1P，AP1=A1P1。在△A1P1B中根據三邊關系可知A1P1 BP1>A1B。故AP1 BP1>AP BP。

例1 在邊長為4的等邊△ABC中，D、E分别為BC、AB的中點，M為AD上的動點，連線BM，ME,求BM ME的最小值。

解析：根據上面總結的知識，點B關于AD的對稱點恰是點C，連接C，E，與AD的交點為M，此時BM ME有最小值，且等于CE。

由已知可得BC=4，BE=2，利用勾股定理，易得CE=。

所以BM ME的最小值為。

2.最大值.

問題：如圖，已知點A，B在直線MN的異側，在直線MN上确定一點P，使PA-PB有最大值。

作法：過A點作關于直線MN的對稱點A1，直線A1B與MN的交點即為所求點P,且PA-PB的最大值等于A1B。

證明思路：在直線MN上任取一點P1(不與P點重合)，隻需證明PA-PB>P1A-P1B即可。

根據對稱知識可知PA=PA1，P1A=P1A1，在△A1P1B中根據三邊關系可知A1B>P1A1-P1B= P1A-P1B.又因為A1B=PA1-PB=PA-PB，故PA-PB>P1A-P1B。

例2 如圖所示，一次函數y=x 3的圖象與反比例函數y=的圖象交于A，B兩點，在y軸上确定一點P，使PB-PA有最大值，求此時P點的坐标。

解析：易求出A(-2,4)和B(8,-1),根據上面總結的規律，作A點關于y軸的對稱點A1(2,4),直線A1B與y軸的交點即為所求的點P。根據A1和B點的坐标可求出直線A1B的解析式，并易求得與y軸的交點P(0,)。

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