如圖，已知AB=CD=3，∠A=∠C=15°，∠D=105°，則線段AD的長為_______.

本題出自2022山西中考導向卷（五）第15題，題目類型為求線段長.

求線段長常用方法為勾股和相似，現有圖形中存在含有所求線段AD的相似三角形，但相似三角形中卻不知任一線段長，故無法直接用相似求解.

本題中已知條件較少，需要拓展已知條件，通常需要構造特殊三角形，也可嘗試構造直角三角形利用勾股或三角函數求解.

1、用三角函數求解

如圖，分别延長AD、CB，交于點E.

易證∠AEB=90°，△ABE≌△CDE(AAS)

∴BE=DE

在RT△ABE中，

∵sin15°=BE/AB，cos15°=AE/AB

∴BE=ABsin15°=3sin15°=DE

AE=ABcos15°=3cos15°

∴AD=AE-DE=3cos15°-3sin15°

現在的問題就是如何求出sin15°和cos15°.

如下圖所示，先畫一個含30°角的直角三角形，延長CB至點A，使AB=BD.

由勾股定理可得AD=√6 √2（開方時需要一些小技巧，文末有解釋）

∴sin15°=1/(√6 √2），cos15°=(2 √3)/(√6 √2）

∴AD=3[(2 √3)/(√6 √2）-1/(√6 √2）]

=3(√3 1)/(√6 √2）=3/√2=3√2/2

2、用勾股定理求解

如圖，分别延長AD、CB，交于點E，在AD上取點F，使AF=BF.

易得 BE=DE，∠BFE=30°

設BE=x，則EF=√3x，BF=AF=2x

在RT△ABE中，由勾股定理，得

(2x √3x)^2 x^2=3^2

解得x=3/(√6 √2)（開方時涉及雙重根号，方法見文末）

∴AD=2x √3x-x=(√3 1)x=3(√3 1)/(√6 √2)=3√2/2

3、構造特殊三角形求解

如圖，分别延長AD、CB，交于點E，連接AC，過點D作DF⊥AC于點F.

易證△ACE為等腰直角三角形

在△ADC中，∠DAC=45°，∠DCA=30°，CD=3

已知兩角一邊，則該三角形一定可解，故作高DF

DF=1/2CD=3/2

AD=√2DF=3√2/2

1、尋找特殊角，構造特殊三角形

看了上面的解答，方法3相比方法1和方法2要簡單許多，所以遇到條件較少的題目時，可嘗試尋找特殊角，構造特殊三角形求解，而最特殊的三角形就是含30°的直角三角形與等腰直角三角形，所以要尋找的特殊角就是30°、45°、60°.

2、待定系數法化簡雙重根号

例、化簡√(8 4√3)

解：設8 4√3=(√a √b)^2

∵(√a √b)^2=(a b) 2√(ab)

∴a b=8，ab=12

解得a=2,b=6或a=6,b=2

∴8 4√3=(√2 √6)^2

∴√(8 4√3)=√2 √6

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