最近，我在學習多元微積分時，遇到了不少困難，對于許多概念有點混淆，對于不少公式老是記不住，今天我們就對高數中的這部分内容進行一點點講解，以下的内容均為我自己的理解，對于數學上可能缺少嚴謹性，其中可能也存在錯誤，僅供大家參考理解。

第二型線積分：

首先，我們研究一個實際問題，當一個力作用在物塊上時，當這個力的大小和方向不變，且物塊沿着直線運動時，力所做的功為

現在當我們的力和直線不在一條直線上，力所作的功如何來表示呢？根據中學學過的知識

，我們可以知道，用向量的形式表達就是

，也就是向量F和AB做點積。再把難度提高一點，假如這個物塊的運動軌迹是曲線，力的大小也在不斷變化，我們如何能夠得到力所作的功呢？要解決這個問題，我們就要拿起微積分這有力的武器了。

微積分就像是一把西瓜刀，可以把曲線砍成一段一段的。當我們“刀工足夠好”，把曲線砍的足夠細密時，切開的每一小段曲線就可以近似的認為是直線了。就像我們每個人雖然生活在地球這個球上面，但是我們卻感覺不到地球是彎的。現在對于每一段微小的曲線，我們可以認為作用在曲線上的力大小不變，運動方向确定，這時力F做的功就變成了第二種情況

，

把所有小弧段上力做的功加起來，便得到了整條曲線上力F做的功W，這樣我們就可以定義第二類線積分

。

知道了第二類線積分

，但對于

我們如何進行計算呢？在中學的時候我們就學過，定義了沿x，y軸方向的單位向量，我們就可以把任意一個向量用坐标的形式來進行表示。顯然變力A(M)，很小的一段位移ds是兩個向量，自然這兩個向量可以用坐标表示出來。假設

，根據向量内積的公式，我們就能夠把這個第二類線積分表示為

這樣，沿着曲線做的功就可以算出來了：

格林公式

我們已經知道如何求出F沿着曲線運動做功的大小，如果我們把曲線變得特殊一點，讓這個曲線不再是随便的一條曲線，而是一條封閉的曲線，如何求這個力在封閉曲線上所做的功呢？答案是顯然的，封閉曲線也還是一條曲線，力所做的功仍然可以用第二類線積分來進行表示。當然，力所作的功是有正負之分的，首先，我們把逆時針方向規定為正方向。這樣子我們就可以把這個力作的功表達出來了

，和之前相同，我們把F和ds都用坐标進行表示，這一次，我們把它在xoy平面進行表示

，這樣我們得到

。

現在，我們來考慮另一種方法來求力F在封閉曲線上是如何做功的，如圖

我們知道，力F可以用一個變量為x,y的函數表示，所以每确定一個位置，我們就可以确定這個位置的力的方向和大小，也就可以求出不同路徑上F所做的功到底是多少。

我們把整個曲線分為S1，S2兩個部分，顯然在S1曲線上力所作做的功等于力在AB,弧BCA上做的功的和。在S2曲線上，力所作做的功等于力在BA,弧ADB上做的功的和，那麼力在S1和S2曲線上做的功等于在在AB,弧BCA在BA,弧ADB上做的功的和，因為向量AB和向量BA方向相反，所以力做的功的大小也相反，則力做的功的和就是弧BCA，弧ADB上做的功，也就是在整個曲線S上做的功。現在，我們再次拿起微積分這把西瓜刀，把S區域這張大餅砍成無數多個小塊。

類似于之前的思想，我們可以先把每一個小塊（D1）上的功算出來，再把它們全部都加起來，這樣我們便得到整個區域上的功。而就像把曲線S分成兩個小塊，中間的曲線上力做的功就抵消一樣，無數個小塊之間公用的曲線上力做的功也抵消了。這樣我們算出的仍然是整個封閉曲線上力所做的功。現在我們開始計算區域D1上力做的功：

顯然，這兩種方法都是對同一個封閉曲線求力做的功，我們隻是采取了兩種不同的方法來進行計算，力做的功是相同的。這樣我們就得到了最後的結論：

把這個公式叫做格林公式，通過這個式子我們可以看出，格林公式建立了平面區域上的二重積分與沿着邊界曲線的第二型線積分之間的關系。

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參考書目：

工科數學分析基礎 下冊-馬知恩等主編-高等教育出版社-1998

馬同學高等數學：格林公式的幾何意義是什麼

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