河南中考，

命題人喜歡讓直接寫出，

所以網頁上一般查不到詳細解析。

本文，

我将詳細、原創分析探究，

保證同學們讀後豁然開朗，

保證能夠明白為什麼這樣解，

如何快速尋找突破點。

本文和中考息息相關。

對于即将跨進畢業班的初中學生，

請預習參考。

第（1）問的圖以及第（2）問圖

正方形ABCD的

邊AB可繞

點A逆時針旋轉，

旋轉角為∠2，

∠2在0°至360°之間變化。

點B旋轉後的對應點為F。

連接BF，

過點D作直線BF的垂線，

垂足為點E，連接DF，CE。

（1）如圖，當∠2=60°時，

①請判定△DEF的形狀；

②連接BD，

試求出BF:CE的值。

（2）當∠2≠90°時，

①第一問中的兩個結論還是否成立？

如果成立，

請僅就圖2的情形進行證明；

②當以點C,D，E，F

為頂點的四邊形是

平行四邊形時，

請詳細解出BE:FE的值。

全體考生成功！

【解前四點分析】

一 凡遇到判定三角形形狀，

外觀看着像什麼，

就奔着什麼方向找條件。

就本題，看着像等腰直角。

往下快速找等腰的要素。

不必在兩腰長度相等花心思，

因為本題中有等腰、有等邊，

從角的度數容易打開局面。

二 凡遇到讓求比值，

先觀察是否有平行的因素。

或觀察是否為相似三角形的對應邊之比。

本題就該考慮證相似。

如何證相似？

等腰直角三角形的邊的關系，

就是好資源。

往下，

三邊對應成比例、

兩角對應相等，

均不要考慮，

隻考慮夾角！

三 判定上一問

的結論是否成立，

注意盡量沿襲上一問的的思路，

不宜另辟蹊徑。

四 最後一問，

當鬥轉星移、動态變化至

形成平行四邊形時，

注意！

那兩個結論，

在題設範圍内，是恒成立的！

必須充分利用！

此時，平行四邊形這五個字，

是已知條件。

詳解：

（1）①：

△DEF為

等腰直角三角形。

理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠2 ∠3=90°

∵旋轉角∠2=60°

∴∠3=30°

∵AB旋轉至AF

∴AF=AB

∴∠1=(180°-∠3)/2=75°

易知△ABF等邊

∴∠4=60°

∴∠5

=180°-∠4-∠1

=45°----①

∵DE⊥BF，

∴∠E=90°--②

由①②知：

△DEF等腰直角。

（1）②：

BF:CE=根号2。

∵△BDC和

△FDE均等腰直角

∴BD:DC=根号2

DF:DE=根号

∴BD:DC=DF:DE

∴BD:DF=DC:DE

∵∠6 ∠8

=∠7 ∠8

=45°

∴∠6=∠7

∴△BDF∽△CDE

∴本題結果根号2。

（2）①：

仍然成立。

理由是：

為了便于表達，

我把旋轉角度改為n。

∵∠BAF=n

∴∠1=n-90°

在等腰△BAF中

∠3=(180°-n)/2

在等腰△DAF中

∠AFD

=(180°-∠1)/2

=[180°-(n-90°)]/2

=(270°-n)/2

則∠4

=∠AFD-∠3

=45°

又DE⊥BF

∴△DEF等腰Rt△

在等腰Rt△中

斜邊是直角邊的

根号2倍，且

銳角均為45°

∴DF:DE=DB:DC

∴DF:DB=DE:DC---①

且∠5=∠6

同加上∠BDE

∴∠FDB=∠EDC---②

由①②得相似

∴對應邊

BF和CE比值為根号2。

（2）②：

分情形讨論。

情形1：

當旋轉角在

0至90°間變化時

∵四邊形DFCE是平行四邊形

∴等腰Rt△DFE

與等腰Rt△CEF

全等，

且CE:FE=根号2。

∵BF:CE=根号2，

∴BF:FE=(根号2)的平方，

即BF:FE=2。

∴BE:FE=3。

或者以下證法：

由平行四邊形知

DF=CE

而結論BF:CE=根号2恒成立

∴BF=根号2倍的DF

∵等腰直角三角形

DF=根号2倍的FE

∴BF=2FE

∴BF=3FE

如果不願意

利用那兩個結論，

也照樣能求解。

∵平行四邊形

對角線互相平分

∴點O為DC的中點

BC:OC=2:1

而Rt△BCF與Rt△BOC相似

∴BF:FC=2:1

∵等腰直角三角形FC=FE

∴BF:FE=2:1

∴BE:FE=3:1

情形2：

當旋轉角為

180°時

如圖，顯然有

BE:FE=1

當旋轉角在

0°至360°之間

其它範圍内變化時

均構不成平行四邊形

綜上，當以點

C,D，E，F為頂點

的四邊形是平行四邊形時，

BE:FE的值為3或1。

其實本題，

不難證明，

DF和CE一直

忠貞不渝地保持着

平行關系。

縱觀本題，

主要考查學生基本

的判斷推理能力和

動态分析能力，

兼顧考查基本計算、

四邊形的性質和判定、

相似和全等等知識點，

倡導學生初步掌握

分類讨論的解題思想。

遺憾的是，

未側重考查數形結合。

瑕不掩瑜，

仍不失為一道壓軸綜合題。

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教務主任

教務主任，常年擔任初高中各門主科的教學。

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