如果一個大正方形能夠分成有限大小各不相同、邊長為整數的正方形，且彼此互不重疊也無空隙，那麼就稱這個大正方形為完美正方形。

14世紀，被譽為“英國詩歌之父”的喬叟在其著作中寫了這樣一個故事：美麗的伊麗莎白小姐向衆多求婚者出了一道難題，要在正方形的禮盒裡，除裝入一根黃金尺條外，其餘部分要用大小不一的各種珍貴的正方形木塊鑲滿。最後一位聰明的王子，成功解出這道難題（如圖所示）。

然而很顯然，因為那根細長條的突兀存在，導緻這個圖形并不是完美正方形。這當然不能怪寫這個故事的喬叟，因為在當時，即使數學家也無法找到完美正方形。一直到16世紀，意大利數學塔爾塔利亞對完美正方形做過深入探索，他把13×13的正方形分割成11個小正方形（如圖所示）。你說說看，他的探索成功了嗎？

很遺憾，這個圖形中邊長為1、3、6的正方形各有2個、邊長為2的正方形有3個，并不符合正方形的邊長各不相同這個條件，因此距離完美正方形還差一丢丢。

數學家們在構造完美正方形上屢屢碰壁，感覺希望渺茫，就轉而去研究完美長方形。轉眼到了1925年，波蘭有一位數學家叫“莫倫”，他找到了兩個完美長方形，一個可以分割成9個大小各不相同的正方形、另外一個可以分割成10個大小各不相同的正方形。

數學家們把一個完美正方形或完美長方形分割成大小不同的正方形的塊數叫做階數，比如分成9個大小不同的正方形就叫做9階。下圖是莫倫找到的9階和10階的兩個完美長方形。

當時間的車輪到了1938年時，完美正方形問題終于取得了突破。完成這一壯舉的是英國劍橋大學三一學院（這是劍橋大學規模最大、财力最雄厚、名聲最響亮的學院之一，湧現出許多著名校友，如牛頓、拜倫、麥克斯韋、羅素、哈代、拉馬努金）數學學會的幾個年輕學生R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone 和 W. T. Tutte。這幾個年輕學生靈光閃現，發現可以将這一個數學問題轉化成等價的電路問題，利用中學生熟知的基爾霍夫定律就可以重構這個問題。這一天才的想法讓他們打通了通往完美正方形的數學通道。

利用這個解題方法，這四名學生找到了很多完美長方形，并且專門列了一個表格來記錄。其中就包括莫倫找到的那兩個，同時還找了另外一個9階的完美長方形，而且還證明了完美長方形最小階就是9階。他們沒有滿足于這個成果，而是繼續努力，終于找到了第一個完美正方形，雖然這是一個龐然大物“69階，即由69個大小不同的正方形構成”。然後他們繼續改進，相繼找到了38階、26階的完美正方形。後來，這四名學生當中有三人成為了數學家。

之後的1948年、1967年，其他數學家又分别作出了24階、25階的完美正方形。到了1978年，荷蘭數學家A. J. W. Duijvestijn利用計算機找到了一個21階的完美正方形，并且這是唯一的、階數最小的完美正方形，同時他還證明了低于21階的完美正方形并不存在。

後來劍橋大學的三一數學學會把這個最小的完美正方形拿去當作他們的會徽, 以此紀念當初研究完美正方形的那四名學生。

至此，完美正方形的讨論暫時告一段落，但是數學家們并未就此停下腳步，他們将完美剖分問題推廣到其它領域，比如莫比烏斯環、克萊因瓶更精彩的數學發現或數學傳奇，正等待着你們去書寫。

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