大桶能盛水11kg，小桶能盛水4kg，怎樣盛出5kg？

　　2019年2月11日星期一

　　題目見于人教版《數學》五年級上冊第10頁，圖如下：

人教五數上冊10頁

　　整理成文字版：

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　　有兩個水桶，小水桶能盛水4kg，大水桶能盛水11kg。不用秤稱，應該怎樣使用這兩個水桶盛出5kg水來？

　　”

大小水桶示意

　　人教版《數學》五年級上冊、下冊的目錄如下圖：

人教五數上冊封面

人教五數下冊封面

　　提醒讀者注意兩點：

　　1.該題安排于上冊第一章學習完“小數乘整數”、“小數乘小數”之後；

　　2.“最大公因數”、“最小公倍數”的學習在下冊第二章。

　　一個聳人視聽的結論：

　　如此安排，是奔着簡單化的方向去了，因此造成了“思考題”資源的浪費。

　　對于如此經典的小題目，您肯定會抱着“不屑”的态度點開的，因為我和大多數人一樣，在一開始對待這道題目時，目标是這樣的：

　　找出一個盛水方案，并以盛水次數最少為榮。

　　這樣的目标讓我們輕松獲得了小小的滿足感，并進而被“滿足感”所蒙蔽。

　　現在，我設定的解題目标是這樣的：

　　1.尋找整齊劃一、機械簡單、普遍适應的盛水方法，謀求用清晰的算式表達盛水過程，為進一步“計算機編程模拟”提供簡明的規則；

　　2.探尋“大、小桶容量”與所有“可盛水結果”之間的關系，針對一般的容量x、y得出普遍的結論；

　　3.不以“盛水次數最少”為目标，以澄清數理關系為核心。

　　這似乎是一些“高、大、上”的目标，然而并不是“小目标”，您懂的。

　　設：

　　大桶容量為x，小桶容量為y。（單位可以忽略，選kg或l實則無關問題本質）

　　所有可盛水結果個數為n。

　　若：x＝11，y＝4，則：n＝15。

　　您或許對此容易理解，可盛水結果是：

　　｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15｝

　　又或者您對此持懷疑态度，請接着往下看。

　　若：x＝10，y＝8，則：n＝9。

　　可盛水結果是：

　　｛2，4，6，8，10，12，14，16，18｝

　　您或許大為奇怪，好在數字小，可以紙筆驗證一番。

　　我曾經輕飄飄地講過一個結論：若大、小桶容量都是偶數，則無論如何是盛不出一個奇數結果的。令人遺憾的是，彼時學生連“奇數、偶數、因數、倍數……”等都沒有學習，我一度懷疑這道題放錯地方了。

　　（重要程度★★★）

　　若：x＝135，y＝72，則：n＝23。

　　可盛水結果是：

　　｛9，18，27，36，45，……，198，207｝

　　随着數字的增大，用羅列的方法會很費勁。我們應當着力于尋找規律上。

　　規律如下：

盛水問題的一般規律

　　其中：（x，y）表示x和y的最大公因數。類似地，［x，y］表示x和y的最小公倍數。詳細可見我早期圖文：《最大公因數的二三事》。

　　用文字版描述規律是：用容量為x、y（x∈N，y∈N，x＞y＞0）的容器盛水，可盛水結果的最小單位是：（x，y），盛水實驗的循環周期是：［x，y］，可盛水結果依次為（x，y）的不超過x＋y的倍數，最大倍數k為可盛水結果個數。

　　（重要程度★★★★★）

　　屢試不爽。

　　來點實在的：用算式表達盛水實驗過程。

　　實驗周期：從大、小桶水量為0開始，至大、小桶水量再次為0結束。

　　實驗規則：

　　①大桶隻接受外界倒入，小桶隻接受大桶倒入，隻有小桶可向外界倒出。

　　簡要描述為：外界→大桶→小桶→外界

　　②大桶空時即添滿，小桶滿時即倒出。

　　（重要程度★★★★★）

　　實驗過程：

　　⑴11－4＝7

　　⑵7－4＝3

　　⑶11＋3－4＝10

　　⑷10－4＝6

　　⑸6－4＝2

　　⑹11＋2－4＝9

　　⑺9－4＝5

　　⑻5－4＝1

　　⑼11＋1－4＝8

　　⑽8－4＝4

　　⑾4－4＝0，此時大小桶均已倒空，若要循環實驗則又回到算式⑴。

　　算式說明：

　　①“差”表示大桶剩餘；

　　②“減數（－4）”表示小桶向外界倒出；

　　③“被減數”中的加數表示外界向大桶倒入、上次大桶剩餘；

　　④為簡化算式、突出主要規律（盛水實驗的周期性），算式左邊不再細分大桶向小桶中轉水量的次數。按理來說，算式左邊的“加數、減數”與“盛水次數”之間一一對應，比如算式⑶，應當為：3＋10＋1－4＝10，表示将大桶中不足小桶容量的3kg水暫存小桶、從外界倒入大桶11kg、從大桶倒入小桶1kg，從小桶向外界倒出4kg，共計4次，對應4個加、減數。類似的還有：⑴7＋4－4＝7，⑹2＋9＋2－4＝9，⑼1＋8＋3－4＝8（再次說明：算式⑴共有3個加減數，對應：向大桶倒入11kg、大桶向小桶倒入4kg、小桶倒出4kg）。為了下文引用的方便，将這四個新算式命名為：“分解算式”。

　　實驗結論：

　　1.大桶剩餘依次是：｛7，3，10，6，2，9，5，1，8，4，0｝，有11種結果；大桶在一個實驗周期内共倒入4次，合并小桶暫存水量，有4種結果：｛11，11＋3，11＋2，11＋1｝；以11＋4替換無意義的0，共計15種可盛水結果。最小可盛水結果：1＝（11，4），其餘可盛水結果為（11，4）的不超過11＋4的倍數。可見，若x、y是互質數，則可盛水結果為：1～（x＋y）。

　　2.一個實驗周期内使用的總水量是：［11，4］＝44，水量出入遵循以下守恒：

　　大桶倒入總水量＝大桶倒出總水量＝小桶倒入總水量＝小桶倒出總水量 （等式A）

　　大桶容量×大桶倒入次數＝小桶容量×小桶倒出次數 （等式B）

　　11×4＝4×11

　　3.如何根據算式計數盛水次數？

　　目标結果：5，在第⑺個算式。

　　隻觀察算式⑴～⑺等号左邊部分：

　　7個“－4”表示小桶向外界倒出7次；

　　算式⑴～⑺中加數總個數為12（以分解算式為準），包含從外界向大桶内倒入3次（算式⑴⑶⑹，還有一次在算式⑼中，與目标結果無關），從大桶向小桶倒入9次。

　　盛水次數共計19次。

　　計數盛水次數的一個簡單方法是：數一數截止目标結果出現時，所有算式等号左邊一共有多少個“加數”和“減數”，即為總盛水次數，且須以“分解算式”為準（注意：最後一步仍然要滿足“小桶滿時即倒出”的規則，即算式⑺中的“－4”要計算在内）。

　　或許大家所熟悉的“最優盛水方案”是：

　　向小桶内倒入3次，轉存大桶内3次；

　　大桶滿倒出1次，小桶内剩餘1kg轉存大桶1次；

　　向小桶内倒入1次，轉存大桶内1次，合并得大桶内5kg。

　　盛水次數共計10次。

　　這個“最優盛水方案”的盛水次序恰好與本文實驗規則①相反：

　　外界→小桶→大桶→外界

　　從下至上對應于算式⑾～⑻等号左邊的“加數”和“減數”的總個數（算式⑼以分解算式為準）。

　　對比驗證如下圖：

盛水次序對比驗證表

　　（重要程度★★★★）

　　用算式表達盛水實驗過程的正确性，關鍵在于将每一次盛水對應為數量的加或減。然而，總盛水次數中，大桶倒入次數、小桶倒出次數的規律是顯然的（見等式B），大桶到小桶的中轉次數卻比較煩瑣，因為當大桶中轉小桶的水量小于小桶容量時，還要中轉第二次，才能滿足“小桶滿時即倒出”的規則。這是問題的難點所在。

　　有了上文通過“盛水次數”對“算式表達盛水實驗過程正确性”的驗證後，我們便可以放心大膽地甩開膀子，盡情測試多種盛水實驗周期、分析可盛水結果了。

　　以x＝10，y＝8為例：

　　⑴10－8＝2

　　⑵10＋2－8＝4

　　⑶10＋4－8＝6

　　⑷10＋6－8＝8

　　⑸8－8＝0

　　大桶共倒入：10×4＝40

　　小桶共倒出：8×5＝40

　　盛水實驗周期：［10，8］＝40

　　可盛水結果：｛2，4，6，8，0，10，10＋2，10＋4，10＋6｝

　　用最大可盛水結果10＋8替換0并排序得：｛2，4，6，8，10，12，14，16，18｝

　　可盛水結果的最小單位：2＝（10，8）

　　可盛水結果數滿足：（10＋8）÷（10，8）＝18÷2＝9（個）

　　文中例“x＝135，y＝72”，就交給有興趣的讀者了。

　　我總感覺：這道人教版教材的題應當放在五年級下冊第二章“因數與倍數”之後。

　　癡言癫語，一吐為快。

　　再會。

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