序數的講解?在這篇文章中，我們希望用一種自然的方式引入序數這一數學概念，我來為大家科普一下關于序數的講解?以下内容希望對你有幫助!

序數的講解

在這篇文章中，我們希望用一種自然的方式引入序數這一數學概念。

本文試圖讓任何一個對集合與映射有樸素認知的人（比如，高中生）能看懂。

（本文改寫自知乎問答：什麼樣的集合可以排序？張智浩的回答）

零、引子

一、序是什麼

二、什麼時候可以排序

三、良序

四、序數

讓我們從簡單的場景開始。一年級二班的小朋友們要去做課間操，都是排着隊去操場的。怎麼排隊呢，比如按學号排，1 号小朋友站在開頭，他的後面站着 2 号，以此類推，一個接一個。這是最簡單的“按序排列”的場景。當然了，因為一年級二班隻有有限多個小朋友，所以這也很簡單。

如果有無限多個小朋友呢？哦，如果小朋友們的學号都是正整數，那似乎也差不多：還是 1 号站在開頭，2 号次之，一個一個下去，無非隊伍沒有盡頭了嘛。

但是，如果小朋友們的學号是 [0,1] 區間裡的有理數呢？這個時候這個隊伍就有些奇怪了，學号為 0 的小朋友當然在開頭，但他後面站誰呢？這時候似乎有點奇怪了，根本沒有誰正好在他後面：如果覺得學号為 q 的小朋友在他後面，那麼學号為 q/2 的小朋友肯定在他們倆中間，所以學号為 q 的這位并不正好在學号為 0 的後面。換言之，如果學号用有理數來标記，根本沒法排出隊伍來——至少跟我們想象中的隊伍不太一樣。

這似乎帶來一個問題：什麼樣的集合可以按序排列呢？

回答這個問題的關鍵當然是“什麼叫‘按序排列’”？

（注：一個沒有說清楚的問題自然是沒法回答的，第一步自然是搞清楚這個問題究竟在問什麼；很多時候我們的問題都是一些用自然語言表述的“樸素”的問題，将其轉化為用嚴格數學語言表述的問題之後，問題“基本上”也就解決了）

按照上面的樸素分析，我們已經看到了排隊的要點：首先有個開頭的小朋友，然後他後面站一個，他後面這個小朋友的後面還有一個，每個小朋友後面都站一個，除了最後一個小朋友（如果有最後一個的話）。不能出現一個小朋友後面不知道站誰的情況，一大群人站在他後面，但沒有誰剛好在他後面。

看起來我們已經遇到了一個關鍵點，即“後面一個”。我們是不是可以說：一個集合能夠“按序排列”，就是說這個集合中每個元素都能找到“後面一個”的元素？

仔細想一想，這似乎符合我們樸素的理解。那麼某個元素的“後面一個”，是什麼意思？

要嚴格回答這些問題，我們得嚴格定義什麼叫“序”，因為顯然這些問題都依賴于“什麼叫序”。

序是一種關系。這句看起來像廢話一樣的話其實在數學上也有明确的含義，但是在這裡我們不想讨論什麼叫“關系”，因為這可能稍微有點離題了。在下面有個 注釋 提到這件事，但是所有的 注釋 都是可以跳過的内容，與正文關系不大。

就我們樸素的認知來說，什麼叫序呢？序是拿來比較大小的，比如我說一個集合 X 上有個序，我的意思是從中任取兩個元素 x₁,x₂ ∈ X，我能比較哪個大哪個小。所以我們給出以下定義：

定義. 設 X 是一個集合。一個 X 上的全序，或者簡稱為序，是一個滿足以下條件的二元關系 ≤：

1. 對任意 x ∈ X 有 x ≤ x；
2. 設 x₁,x₂ ∈ X，如果 x₁ ≤ x₂ 且 x₂ ≤ x₁ 同時成立，那麼 x₁ = x₂；
3. 設 x₁,x₂,x₃ ∈ X，如果 x₁ ≤ x₂ 且 x₂ ≤ x₃，那麼 x₁ ≤ x₃；
4. 對任意 x₁ ≤ x₂，要麼有 x₁ ≤ x₂，要麼有 x₂ ≤ x₁。

如果你忽略掉一個神秘的名詞“二元關系”，僅僅從字面上理解，這幾條要求似乎完全滿足我們對“序”的想象：前兩條幾乎是廢話，第三條是所謂的“傳遞性”，第四條則是說“任意兩個元素都能比較大小”，所以叫“全序”。下面我們都将使用“全序”這一名稱，而不再用“序”。

多說一句，第四條加第二條能推出第一條自動滿足，所以其實不需要這麼多條件。

注釋. 這個定義其實不那麼完整，因為我還沒定義“二元關系”這個神秘的名詞。對于不知道的讀者，我們簡單說一下。我要怎麼描述一種“關系”呢？最簡單的一種辦法是：我把所有有關系的對子都拿出來，那我自然就知道這個關系是什麼了。比如，我宣稱 X 上有一種關系叫“小于等于”，我隻需要給出所有 (x₁,x₂) 的對子，其中 x₁ 小于等于 x₂，那麼我就确定了這個關系。所以，一個 X 上的關系就是 X × X 的一個子集。這裡我并未寫得很嚴格，但我想在正文中應當不影響理解。

注釋. 如果在上述定義中去掉第四條，我們就得到了“偏序”的定義。簡單來說，一個偏序基本上就是一個全序，唯一的區别是，兩個元素并不一定可以比較大小。不過本文中我們暫且不讨論偏序的事情。

一個全序集 (X,≤) 就是一個集合 X 和其上的一個全序 ≤ 一起組成的對子。一個集合上可以有很多不同的全序，所以我們應當将全序視為一種結構。換言之，一個全序集，是一個集合裝備了全序這種結構之後得到的東西，它已經不再是原來那個集合了，而是一個有結構的集合。所以一開始的問題應當是：什麼樣的全序集可以排序？

本節的最後我們來看幾個全序的例子：

• 自然數集合 N，整數集合 Z，有理數集合 Q，實數集合 R，都能按照通常大家熟知的大小關系 ≤ 成為一個全序集。
• 如果 (X,≤) 是一個全序集，而 Y 是一個 X 的子集，那麼 Y 上有一個顯然的全序，即把 X 上的全序限制在 Y 上。比如，全體非負實數的集合，記為 [0, ∞)，作為 R 的子集有一個顯然的全序。
• 我們在 N 上給出一個與 ≤ 不同的全序 ≦，定義如下：對任意 m,n ∈ N，有 2m ≦ 2n 1；如果 m ≤ n，那麼有 2m ≦ 2n 以及 2m 1 ≦ 2n 1。簡單來說，我定義所有偶數都比奇數小，但是奇數和偶數自己的大小關系還是跟通常的一樣。也可以把這個全序具體寫出來：0 ≦ 2 ≦ 4 ≦ … ≦ 1 ≦ 3 ≦ 5 ≦ …。
• 我們在 [0, ∞) × N 上給出一個全序 ≦ 定義如下：如果 x₁ ≤ x₂ ∈ [0, ∞)，那麼對任意 n₁,n₂ ∈ N 有 (x₁,n₁) ≦ (x₂,n₂)；如果 n₁ ≤ n₂ ∈ N，那麼對任意 x ∈ [0, ∞) 有 (x,n₁) ≦ (x,n₂)。這種順序也叫“字典序”，因為字典就是這麼排序的。

我沒有仔細給出後幾個例子的定義，也沒有驗證它們确實是全序，但我想這是很容易感受到的。細節就留給讀者吧。

現在我們已經嚴格定義了什麼叫“序”了，現在我們來看看給定一個全序集 (X,≤)，我們是不是能把 X 中的元素“排”起來。

如果能夠把 X 中的元素排起來，這個隊伍首先有個開頭，這個開頭是誰呢？哦，那當然是 X 裡面最小的那個元素了。那啥叫“最小”呢，當然是沒有比它更小的了。所以以下定義是顯然的：

定義. 設 (X,≤) 是一個全序集。如果一個元素 x ∈ X 滿足以下條件：

• 如果有某個 x' ∈ X 使得 x' ≤ x，則 x' = x，

那麼稱 x 為極小元素。

等等，也許你會說，“最小”的意思難道不是比其它所有元素都小嗎？那麼我們定義：

定義. 設 (X,≤) 是一個全序集。如果一個元素 x ≤ X 滿足以下條件：

• 對任意 y ∈ X 有 x ≤ y，

那麼稱 x 為最小元素。

為了區分這兩種定義，前者我叫做“極小”而後者我叫做“最小”。如果有過求函數的極值與最值的經驗，可能會對這一命名感到親切。那麼這兩個概念是一樣的嗎，我們的感覺是不是對的呢？确實是對的。

命題. 設 (X,≤) 是一個全序集。如果 x ∈ X 是一個極小元素，那麼它也是最小元素；反之，如果它是一個最小元素，那麼它也是一個極小元素。此外，不論極小元素還是最小元素，如果存在，那麼是唯一的。

證明. 證明是比較容易的。先假設 x 是最小元素。如果有 x' ∈ X 滿足 x' ≤ x，由于 x 是最小元素，必定有 x ≤ x'，所以 x = x' 。換言之 x 是極小元素。

反過來，假設 x 是極小元素。對任意 y ∈ X，由全序的定義知道要麼 x ≤ y 要麼 y ≤ x。如果 x ≤ y，那麼沒什麼可說的；如果 y ≤ x，由于 x 是極小元素，必定有 y = x，那還是有 x ≤ y。總之，不論如何都有 x ≤ y，即 x 是最小元素。

至于唯一性是比較顯然的。如果 x,x' ∈ X 是兩個最小元素，那麼由 x 最小知道 x ≤ x'，由 x' 最小知道 x' ≤ x，故 x = x'。

注釋. 對于全序集這兩個概念自然是一樣的，但是對于偏序集就不同了。由于任意兩個元素并不一定能比較大小，所以在偏序集中“最小元素”并不是一個很好的概念；仔細看上面的證明，任意兩個元素能比較大小這一條也是關鍵的一步。此外，在一般的偏序集中，極小元素不一定唯一。

上面的命題并沒有提及最小元素或者極小元素的存在性，隻是說“如果存在那麼怎麼樣”。事實上一個全序集也不一定存在最小元素，比如整數集合按照通常的序關系就沒有最小的那個數，但自然數集合就有最小的數，即 0。

所以 (X,≤) 的元素能“按序排列”的第一個條件是：全序集 (X,≤) 存在極小元素。好了，現在隊伍的開頭有了，下一個排誰呢？

注意，我們已經說了“下一個”，所以立馬的問題就是，什麼叫“下一個”？任取 x ∈ X，自然的“下一個”顯然要比 x 大，并且它們之間沒其它元素了。所以我們定義：

定義. 設 (X,≤) 是一個全序集且 x ∈ X，則 x 的後繼是滿足以下條件的一個元素 S(x) ∈ X：

1. 有 x < S(x)，即 x ≤ S(x) 且 x ≠ S(x)；
2. 若有某個元素 y ∈ X 滿足 x < y ≤ S(x)，則 y = S(x)。

這個定義看起來有些拗口，或許我們能改寫一下。用符号 (x, ∞) 表示 X 中比 x 大的元素形成的子集，即 (x, ∞) := {y ∈ X ∣ x < y}。那麼上述定義就是在說：後繼 S(x) 是 (x, ∞) 中的極小元素。如果這個極小元素存在，那麼我們就找到了 x 的“後一個”。如果每個 x ∈ X，隻要不是“最後一個”，都有“後一個”，那麼我似乎就可以把 X 中的元素“按序排列”起來了。

至此我們似乎已經找到了 (X,≤) 可以“按序排列”的條件，包括兩條：

1. 存在極小元素；
2. 對每個 x ∈ X，子集 (x, ∞)，隻要非空，都存在極小元素，即 x 的後繼。

當然，子集 (x, ∞) 是空集的意思就是“沒有比 x 更大的元素”，即 x 是極大元素。我沒有寫下極大元素和最大元素的定義，但原則上跟前面寫的沒什麼區别。

至此問題結束了嗎？不，這裡還有兩個問題。第一個問題是，如果記 m 是極小元素，我的排列總是像 m,S(m),S²(m) = S(S(m)),… 這樣排起來的，但是所有 x ∈ X 都會出現在這裡面嗎，會不會有些元素不在隊伍裡面？換言之，如果某些 x ∈ X 沒有“前一個”，我這算是“按序排列”嗎？

這其實不是一個特别關鍵的問題，它依賴于我們對“按序排列”的理解，我們将在最後讨論這個問題。第二個問題比較關鍵，我們馬上來讨論。

上面給出的可以“按序排列”的條件有個最大的問題：這些條件不是被子集保持的。這句話的意思是，如果 (X,≤) 滿足“按序排列”的兩個條件，而 Y 是 X 的一個子集，那麼 (Y,≤) 并不見得可以滿足這兩個條件。這想一想似乎違背了我們樸素的直覺：如果我把一些元素排列起來，我從裡面取一部分元素，它們應該也自動排列起來了才對。

來看一個例子。在第一節中我們有一個 [0, ∞) × N,≦) 的字典序的例子，它滿足“按序排列”的兩個條件：首先極小元素是 (0,0)，其次對每個 (x,n) ∈ [0,∞) × N，它的後繼是 (x,n 1)。然而，考慮它的一個子集，比如 {(x,0) ∣ x > 1}，它就沒有極小元素，在裡面也沒有後繼，因為這個全序集和 (1, ∞) 幾乎就是一樣的。（關于什麼叫“一樣”我們也會在之後讨論）

所以，可能更好的選擇是 (X,≤) 的任意子集都滿足上述可“按序排列”的條件。但是子集的子集還是子集，所以這件事情顯然等價于說 X 的任意子集都存在極小元素。

定義. 設 (X,≤) 是一個全序集。如果全序 ≤ 滿足以下條件：

• 任意非空子集 Y 存在極小元素，

則稱 ≤ 是一個良序，而 (X,≤) 稱為一個良序集。

顧名思義，“良序”的意思就是這個序很好，當然經過上面的讨論我們也知道它到底好在哪裡：從一個良序集裡面任取一個子集，都能“按序排列”。

看幾個例子。顯然自然數集合按照通常的序關系 (N,≤) 是一個良序集。上面給出了 N 上的另一個全序關系 ≦，容易驗證 (N,≦) 是一個良序集。可以感受到，(N,≦) 就是把兩個 (N,≤) 給“拼”在一起了。

那麼這裡說個題外話。所謂的“良序原理”說：對任意一個集合 X，存在一個 X 上的良序。

乍一聽這是一個很強的命題，因為一個集合上的序實在是太多了，但良序這個條件又這麼苛刻，幾乎不太可能實現的樣子。事實上它也确實很強，它等價于“選擇公理”。對于那些不了解什麼是選擇公理的讀者，我們也簡單提一下，它基本上是這麼個意思：如果我現在有一大堆非空集合，記為 {X_i}，其中 i ∈ I 用來标記這些集合，那麼我可以從每個 X_j 裡面挑一個元素 x_j ∈ X_j。

這聽起來什麼也沒說，難道不是顯然的嗎？嗯，确實是這樣，不過“挑一個”的意思是找到這麼一個映射 f : I \to ∪ X_i 使得 f(j) ∈ X_j，稱為選擇函數。這個映射怎麼找呢？

關于選擇公理，在此我不詳細闡述了，有興趣的讀者可以參考這個知乎問答：

如何讓一個 5 歲小孩聽懂什麼是選擇公理？​匡世珉的回答。（此處沒有鍊接）

不過如果有了良序原理，這樣的選擇函數似乎很容易找到了：首先在 ∪ X_i 上給一個良序。那麼每個子集 X_j，按照定義會有一個極小元素 x_j。好了，那麼我們定義 f(j) = x_j 就完事了。

這或許會對大家理解選擇公理提供一些幫助。

多說一句，問題描述中有“把 [0,1] 中的有理數”排成一列的做法。這裡并不需要用良序原理，隻需要注意到 [0,1] 中的有理數其實可以和自然數集 N 建立一個雙射，這就完了。當然這件事情也并不顯然。

我們大概已經回答了原本的問題：什麼樣的全序集可以“按序排列”？按照我的理解，就是良序集。好了，每當我們有一個數學對象，我們就可以做一些常規的操作。

定義. 設 (X,≤) 和 (Y,≦) 是全序集。如果一個映射 f : X → Y 滿足以下條件：

• 若 x₁ ≤ x₂ ∈ X，則 f(x₁) ≦ f(x₂) ∈ Y，

則稱 f 是一個保序映射。如果 f 還是一個雙射（一一對應），則稱 f 是一個保序同構。

容易驗證保序同構的逆映射還是保序同構。

注釋. 如果讀者知道一些基本的範疇論，容易看出，所有全序集和保序映射組成一個範疇，這個範疇的同構就是保序同構。所有良序集組成這個範疇的一個滿子範疇。

如果兩個全序集是保序同構的，那麼它們幾乎就是“一樣”的。所謂“同構”，就是“有相同的結構”，即序結構是一樣的。

注釋. 當然了，什麼叫“一樣”其實是個很大的問題，如果有不一樣的“一樣”那還是“一樣”嗎？比如整數集合 (Z,≤) 到自身有很多保序同構：對每個 m ∈ Z 定義 f_m(n) := n m，那麼 f_m 顯然是保序的；換言之，整數集合與自己有很多不一樣的“一樣”；不過又說回來，它自己與自己有一個特别的“一樣”即恒等，所以到底是不是“一樣”呢？對于這些範疇論的讨論，我推薦讀者閱讀下文：

孔良：1 1=2？​（此處沒有鍊接，可以去知乎搜索孔良老師，或者在返樸公衆号中尋找）

然後我們會發現，良序集真的性質很好：如果兩個良序集“一樣”，那麼它們隻有唯一的方式“一樣”，換言之它們真的一樣！

命題. 設 (X,≤) 和 (Y,≦) 是兩個保序同構的良序集，則它們之間的保序同構是唯一的。

在此我們不給出具體的證明。大概的想法是，保序同構總是把極小元素映到極小元素，後繼映到後繼，兩邊都排成一排，那麼顯然隻有一種保序同構。當然了，這不算是思路，因為要嚴格化這種想法還需要很多工作。或許會感受到，這種說法很像數學歸納法；事實上我們确實會有一種新的歸納法，在此不細說了。

既然我們把保序同構的良序集看成一樣的，那麼唯一有用的就是良序集的“等價類”了，保序同構的良序集視為等價的。我們給這些等價類取個名字，叫“序數”。

定義. 一個序數是一個良序集的等價類。

比如，我們用正整數 n 來表示 {0,1,…,n-1} 這個良序集對應的序數，用 0 表示空集這個良序集對應的序數，用 ω 來表示正整數集合 (N,≤) 對應的序數。

習題. 空集如何成為一個良序集？

注釋. 這裡其實有一些小問題。衆所周知，所有集合的“集合”并不是一個集合；類似地，和某個集合同構的所有集合也不構成一個集合。比如，對每個集合 X，集合 {X} × Y 當然和 Y 有一個雙射。所以，如果考慮和某個良序集保序同構的所有良序集，這也太大了而不是一個集合。不過這到不是什麼大問題，因為我們還有别的辦法定義什麼叫序數。不過在這裡理解成等價類沒有什麼影響。

序數可以比較大小，事實上随便拿一些序數出來組成的集合也自然地是一個良序集。序數可以做加法，也就是把兩個良序集“拼”在一起，比如我們前面看到的 (N,≦) 對應的序數就是 ω ω。序數也可以做乘法，也就是把兩個良序集做笛卡爾積然後取字典序，比如 ω ω = ω · 2（不過通常的字典序和我上面的例子是反的）。序數的加法和乘法都不是交換的，比如 1 ω = ω ≠ ω 1 以及 2 · ω = ω ≠ ω · 2。

習題. 驗證這兩個等式和不等式。

最後我們把前面挖的一個坑填上：我們隻讨論了元素有後繼的情況，如果我還希望元素有前繼，即每個元素，除了極小元素，都是某個元素的後繼，又會怎麼樣？可以證明，隻有有限的序數和 ω 滿足這一條件。其實這比較顯然，更大的序數一定包含 ω，那麼自然就會出現一個沒有前繼的元素。

當然了，嚴格的證明依賴于更嚴格的定義。這一節我們幾乎沒有給出任何嚴格的定義，主要是寫得太長了，不打算繼續了。

拓展閱讀. 有興趣的讀者可以參考維基百科，搜索序數（ordinal number）即可。

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