上帝創造了整數

其他一切都是人造的

我們首先提出兩個問題：

1）為什麼負負得正（-（-1）= 1）？

2）為什麼（-1）× （-1）= 1？

把這些看似簡單的問題抛給學生家長，他們會感到愕然，好像天經地義，負是反過來，再反一次不就是正了嗎！

這種形象的理解沒有錯，盡可以放心使用。但不了解“反”的真正含義，就不能令人信服。（有人心裡在竊笑，你在鑽牛角尖！我從小到大都懂的道理還用再啰嗦？）

其實，引入包括負數和分數的四則運算，已經超出日常的經驗。曆史上人們并非一朝一夕就接受和掌握，直到17世紀它們的合法性還沒有得到普遍承認！

對第二個問題的回答其實并不簡單。初中數學教科書不能夠逃避這個問題，看看那上面是怎麼解釋的吧。

很自然地，在講解負數加減運算規則時，引入數軸的概念，用數軸上的點表示數，原點表示0，原點右邊的點表示正數，原點左邊的點表示負數。

在進行數的運算時，可用數軸上帶方向的線段來表示一個數，線段的長度代表數的大小，線段方向指向右代表一個正數，線段方向指向左表示一個負數。

這是通常的直觀方法。既然正負與方向聯系在一起，負負得正就容易理解了。

但是，要解釋負數乘負數等于正數，這樣還無濟于事。

有些教科書的做法，是在方向正反的基礎上再添加時間前後的解釋：把以後時間的位置用正數表示，以前時間的位置用負數表示。

挖空心思地設想一種特定的情景，企圖用以說明負數乘負數的結果是正數，其結果隻能是自己糊塗讓學生更糊塗。

實際上，負數乘負數等于正數是運算規則約定的結果：隻有這樣定義，有理數的運算才能承襲全部自然數的運算法則，彼此相容地給出一緻的、合乎邏輯的結果。

我們下面就從頭（起點！）來梳理這個線索。

自然數是數學的出發點和邏輯基礎。對自然數的研究到現在也沒有結束。

自然數是由1，2，3…組成的無窮多個數，其中的每一個數都等于它前面的數加1，它後面的數等于它再加1。

對自然數先定義加法運算，在加法的基礎上再定義乘法運算為：任一自然數a與1相乘及與自然數（b 1）相乘的結果分别為：

a×1=a

a×(b 1)=a×b a

加法與乘法的運算規則表現為5個公理：加法的結合律、交換律，乘法的結合律、交換律，以及加乘的分配律。

用字母a,b,c,…作為表示自然數的符号，這5個公理依次是：

a (b c) = (a b) c

a b = b a

(ab)c = a(bc)

ab= ba

a(b c) = ab ac

這些規律作為公理而存在，它們體現了人們對于自然數的直觀認識。數學家Kronecker（克羅内克）把這種狀況表述為“上帝創造了整數，其他一切都是人造的。”

德國數學家克羅内克

從自然數出發擴展到有理數（包括正整數、0、分數及負數），數學向前跨進了一大步。

減法定義為加法的逆運算：若a b = c，則 b = c – a。

但是，隻有當c比a大時，才有唯一的自然數b存在。若要對任何兩個自然數都可執行減法，我們必須引進0和負數。

0的定義：任何數a加0仍等于a，a 0 = a. 于是，a - a = 0.

負數的定義：考慮在b比a小的條件下，定義b - a =-(a - b)是一個負數。

負數可以看作正數的相反數，也可以說，正數和負數是一對相反數，其意義是二者之和為0：(a-b) (-(a-b)) = a-b b-a = 0。在正數前面加負号 - ，表示負數。

更一般地, 可用負号定義相反數：在一個數a（無論正負）前面加負号 - a，表示a的相反數，即滿足

a （-a）= 0

(負号作為數前面的符号，用圓括号把它與數結合在一起，以免與減法算符相混淆。)

從負數定義出發，立得第一個結果：

a （-b）= a - b b (-b) = a - b

也就是說，加上一個負數，等同于減去一個正數。

從負數定義還可推出第二個結果：“負負得正”！

請看，由于（-a）是一個數，它的相反數為-(-a)，故 -(-a) （-a）= 0，等式兩邊同時加a，得出-(-a) = a.

從負數定義可以如下所示推出第三個結果a - (-b) = a b：

由于b (- b) = 0，以及 （-b）- (-b) = 0，故a - (-b) = a b (-b) - (-b) = a b。

也就是說，減去一個負數，等同于加上一個正數。減号和負号的形狀與作用都一樣，結果也是“負負得正”！

總之，我們不必在意數a和b是正數或負數，可以歸納為：一個數加上另一個數等于減去後一個數的相反數。

我們從現在開始就強調，自然數的全部運算法則（公理）都由有理數和實數繼承下來！

正是因為有了運算法則的相容性，我們從來不必關心參與運算的數是自然數，有理數，還是實數。

應用上面的說明，我們不難給出任何兩個數（正數或負數）的加、減運算結果。例如：（-a） （-a）= -（2a）。

自然數的乘法可以作為加法的簡便表示，一開始假定：a ×1 = 1 ×a = a，以及a × 0 = 0。

然後，任意兩個自然a與b相乘，可根據乘與加的分配律依次得到。

接着，讨論負數的乘法，由于 a （-a） a （-a）=0，得（-a） （-a）=-（2a）

即2×（-a）=-（2a）。 一般，（-a）× b = -（ab）

同理，可得a × （-b）= -（ab）

但是，（-a）×（-b）= ？ 甚至更簡單情形，（-1）×（-1）= ？

數學家經過很長一段時間才認識到（-1）×（-1）= 1是不能被證明的（即使大數學家歐拉曾給出不能令人信服的一個“證明”！），它隻是一個合适的約定，以定義的方式給定。因為隻有這樣約定，乘加分配律才能對于負數同樣成立。

請看，若将乘加分配律用于下式：

0 =（-1）× （1 （-1））= （-1）×1 （-1）× （-1）

就必須有：

（-1）×（-1）= 1

接着，進入到分數的定義。

任一分數可用一對自然數m和n表示為

。

分數最初是作為自然數乘法的逆運算而定義的：若n·p = m，則m÷n = p，記為

，隻有當m是n的整數倍時，p才是自然數。

對任何自然數m，n定義

，使數的範圍從自然數擴展到全部正有理數。

可以依照自然數除法的性質，如下定義正有理數的加法，乘法，以及兩個有理數相等：

對任意自然數a, b,c, d

很容易驗證，在

和

都是自然數時，上面的定義給出正确的結果，而且，上面的定義使正有理數的加法、乘法運算滿足結合律與交換律，乘加運算滿足分配律。

根據負數的定義，可以定義負有理數。很容易驗證，對任何正、負整數a, b, c, d, 有理數

和

的加法、乘法和相等都采用上述的定義，全部有理數（整數和分數，正數和負數）的加法、乘法運算滿足結合律與交換律，乘加運算滿足分配律。

總而言之，在全部有理數的範圍内，可以應用同樣的自然數的運算法則，進行加減乘除的四則運算，得到唯一确定的、在有理數範圍内的結果。

本文作者：吳新瞻

應用數學與計算機應用高級工程師，編審；

1957一1963北京大學數學力學系數學專業畢業；

1963一1967中國科學院計算技術研究所概率統計計算專業研究生畢業；

長期從事數學應用研究與計算機應用軟件開發工作；

曾擔任中國大百科全書《電子學與計算機》卷特約編輯與撰稿人，《今日電子》執行主編；

發表論文十餘篇，編著出版《随機模型與計算機模拟》一書，譯書若幹種。

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