絕對值與相反數這一節，初學可能會認為比較簡單，可是越學下去，感覺越難。裡面的知識點多，概念易混淆，是本章的重難點。特别是絕對值的幾何意義，對于剛進入初中的同學們，如果思想不能及時轉變，很難理解其中的奧秘。

一、絕對值

1.絕對值的概念：數軸上，表示一個數的點與原點的距離，叫做這個數的絕對值。

2.絕對值的符号：數a的絕對值記做“|a |”

3.絕對值的非負性：一個數的絕對值是非負數，記為|a |≥0

4.絕對值的性質：正數的絕對值是它本身，0的絕對值是0，負數的絕對值是它的相反數。

例題1：已知|x |=55，|y |=56，求x y的值

【分析】|x |=55表示的意義為：點x到原點的距離是55，到原點距離是55的點應該有兩個，分别在原點的左邊和右邊，因此x=±55.同理，y=±56.此時，求x y的值就需要分情況讨論，總共有四種情況。

解：由題意得：x=±55，y=±56.

①當x=55，y=56時，x y=111；②當x=55，y=-56時，x y=-1；

③當x=-55，y=56時，x y=1；④當x=-55，y=-56時，x y=-111.

綜上所述：x y的值為±1或±111。

例題2：|x 1 | |y 2| =0，求x y的值

【分析】根據絕對值的非負性，兩個非負數加起來要等于0，說明兩個數應該都等于0，即“0 0模型”。

解：由題意得：|x 1 |=0，|y 2| =0，解得：x=-1，y=-2.∴x y=-3

例題3：已知|x |=55，|y |=56，且|x-y |=y-x，求x y的值

【分析】與例題1類似，本來本題需要分四種情況讨論，由|x-y |=y-x可知，x-y的絕對值是它的相反數，則x-y是非正數，即x-y≤0，所以x≤y，從而可以分情況讨論。

解：由題意得：x=±55，y=±56.∵|x-y |=y-x，∴x≤y

①當x=55，y=56時，x y=111；②當x=-55，y=56時，x y=1

綜上所述：x y的值為1或111.

二、相反數

1.相反數的概念：符号不同、絕對值相同的兩個數互為相反數

2.多重符号的化簡：在不含絕對值的前提條件下：若一個正數前面有偶數個“-”号，其結果為正；若一個正數前面有奇數個“-”号，其結果為負。

3.互為相反數的兩數特征：a b=0

4.相反數常見表達形式：①a b的相反數為-a-b;②a-b的相反數為-a b或b-a；③-a b的相反數為a-b;④-a-b的相反數為a b.

例題4：若a與3a-4互為相反數，則a的值是多少？

【分析】利用相反數的性質，互為相反數的兩個數和為0求解。

解：由題意得：a 3a-4=0，解得：a=1

例題5：若a，b互為倒數，m，n互為相反數，x的絕對值為3，求4ab 2（m n） x的值

【分析】由a，b互為倒數，可知ab=1；由m，n互為相反數，可知m n=0；由x的絕對值為3，可知x=±3.

解：當x=3時，原式=4×1 0 3=7；當x=-3時，原式=4×1 0-3=1；綜上所述，代數式的值為1或7.

例題6：已知|x-8 |與-5互為相反數，求x的值

【分析】互為相反數的兩數和為0，即|x-8 |=5.

解：由題意得：|x-8 |=5，即x-8=±5，解得：x=3或13

這是絕對值與相反數的基礎概念和性質，後續繼續補充延伸知識點。

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