作者 | 倉萬林（江蘇省江陰市要塞中學）

本文經作者授權發布作為數學文化征文活動的參考文獻供讀者參閱。原文載于《上海中學數學》2014年第九期。

《普通高中數學課程标準(實驗)》在關于課程的基本理念中，明确指出要“體現數學的文化價值”。随着課程改革的不斷深入，數學文化受到空前關注，越來越多的教師和研究者達成共識：數學課程應适當反映數學的曆史、應用和發展趨勢，反映數學對社會發展的推動作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神。然而，由于多種主客觀因素的制約，從理念到實踐往往要走較長的路.許多教師還在困惑：既然高考不考，那我為什麼還要教呢？實際情況并非如此簡單，從2009年到2013年，湖北高考中連續出現了數學文化的相關試題，江蘇高考也在2005年、2008年、2009年和2013年四度考查了數學曆史上著名的阿波羅尼圓，其他省份的高考中也時常出現數學文化的相關試題。為了打消部分教師的顧慮，筆者在案例設計中，充分考慮到高考評價對數學文化的關注.在常态課堂中體現數學文化的實際教學功能，有意識、系統地滲透數學文化，應立足獨特的數學文化背景。

一、創設情境

文化是一個整體.從時間上看，文化具有習得性；從空間上看，文化與人類實踐和理論探索的方方面面有着深刻的聯系。數學作為人類文化的重要組成部分，既有廣泛的外部聯系，同時更有極強的内在.邏輯性與曆史發展的延續性.教師可以挖掘數學課程中許多模塊的獨特文化背景，利用問題、方法的背景或者産生的曲折曆程，創設充滿濃郁數學文化的問題情境，或展示，或讓學生參與其中，幫助學生開闊數學視野，深化對數學學科本質和曆史淵源的認識。

案例1 複數的引入

複數的學習使學生對數系的認識到了一個新的階段，許多學生對複數中的i特别感興趣，因此，課堂伊始，筆者就和學生“穿越”到幾百年前，一起回味複數的“身世”。

複數産生于一元三次方程的求解過程中，這更增加了複數神秘而虛無飄渺的色彩。1545年，意大利數學家卡爾丹在其所著的《重要的藝術》一書中提出這樣的問題：把10分成兩部分，使其乘積為40，列方程為x(10-x)=40，可求得根為和.後來，卡爾丹在解三次方程時，又一次運用了負數的平方根.可見卡爾丹肯定了負數平方根的用處.“實數”、“虛數”這兩個詞是由法國數學家笛卡爾在1637年率先提出來的，而用表示虛數的單位則是歐拉的功績。再後來，把實數和虛數結合起來，記成的形式.在虛數剛進入數的領域時，人們對它的用處一無所知，實際生活中也沒有用複數來表示的量.直到高斯建立複平面的概念，才使複數有了真正的立足之地。從此，複數開始表示向量，在水力學、地圖學、航空學中均有着廣泛的應用。

1843年，英國數學家哈密爾頓又提出了“四元數”的概念，就是一種形如的數。四元數都是由實數加上三個元素，，組成，它們有如下的關系，就像複數一樣。但多元數已超出了複數的範疇，人們稱其為超複數。

而課本上是這樣講的：在求一元二次方程的解的過程中，實數集不夠用了需要進行擴張，擴張後的數集，使得一元二次方程有解，從而得到複數。課本上這樣處理的目的，是為了和前面學習數系的擴充過程一緻起來，而且學生容易接受.至此，學生腦海中的那個抽象枯燥的已經變得栩栩如生，理解更加深刻了。從數學發展史來看，數學成果的流傳主要是數學思想方法的流傳，所以在學習知識的過程中，隻有了解數學研究的曆史背景，分析前人工作的方法，才能透過現象看本質，得到有益的啟示，激發出思想的火花，并真正學會“像數學家那樣思考”。

數學課程通常給出的是一個系統的邏輯論述，好像從這一結論到那一個定理是很自然的事情。其實曆史的發展并非一帆風順，案例1可以使學生認識到，一個學科的發展是從點滴積累開始的，有的甚至需要幾百年時間。通過數學文化的滲透，中外數學家刻苦鑽研、嚴謹創新以及為了科學事業勇于獻身的例子也成為很好的教育素材，學生從中能獲得勇氣，勇于面對學習中的挫折和困難。

鍊接高考(2010四川理-16)設 S為複數集 C的非空子集.若對任意x，y∈S，都有x y，x-y，xy∈S，則稱S為封閉集。下列命題：①集合S={a bi | (a，b為整數，i為虛數單位)}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有0∈S；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足的任意集合T也是封閉集.其中真命題是 (寫出所有真命題的序号)。

類似的案例在新課程中有很多，如教學中經常提到的七橋問題、數列學習中遇到的印度國王重賞國際象棋發明者的故事等。無論是從培養興趣還是從理解教材的角度看，數學文化在教學情境中的應用均是很好的範例。

二、突破難點

考慮到中學生認知的基本特征，從數學教育的視野來看，數學本身具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性等特點，在教學中單純講解定義、定理和公式，較難取得理想的效果.有經驗的教師，往往是通過富有啟發性的問題來進行教學的，如在高中函數概念教學中，如果采取先給出定義，再舉例、練習強化的傳統方式進行教學，效果往往不佳，尤其是學生常常将初中函數概念與高中函數概念混淆不清。針對這種情況，筆者在學生學習函數性質時，向其介紹著名的狄利克雷函數。

案例2狄利克雷函數

勒熱納·狄利克雷(Lejeune Dirichlet，1805～1859)，德國數學家，創立了現代函數的正式定義。狄利克雷函數可以簡單地表示分段函數的形式

. 在中學範圍内，學生可以理解的基本性質有：(1)定義域為整個實數域R；(2)值域為{0，1}；(3)函數為偶函數；(4)無法畫出函數圖像，但是它的函數圖像客觀存在；(5)以任意正有理數為其周期.狄利克雷函數是周期函數，但是沒有最小正周期，因為不存在最小正有理數，所以狄利克雷函數不存在最小正周期。

通過案例2，學生對函數性質的認識可以有質的飛躍，再來看下面的問題。

鍊接高考 (2012福建理-7)設函數

則下列結論錯誤的是

A.D(x)的值域為{0，1}

B.D(x)是偶函數

C.D(x)不是周期函數

D.D(x)不是單調函數

此時再來品味這個問題，是不是有“一覽衆山小”的感覺呢？狄利克雷函數為何可以幫助理解函數的本質？從數學文化視角來看，函數的演變是因為一些“怪”的函數的出現。比如常見的高斯函數，使人們對函數的性質認識不斷深入，推動了數學學科的發展.合理應用這些素材，将使學生對學科的認識取得本質的提升。

三、微型探究

傳統的數學教學一般隻涉及到數學的兩個層面：數學的概念、命題，數學的思想和方法。新課程标準中的“數學文化”要求，是其第三個層面.在新課程中，數學文化與數學探究、數學建模一起，貫穿于整個高中數學課程的重要内容當中。

在新課程教學中，合作探究學習是人們關注的熱點之一.但從實施的效果來看，脫離學生能力和學習方式實際的低效率和僞探究，在許多公開課中成為一種探究秀。微型探究學習作為探究學習的一種，可以為數學課堂探究學習找到一種有效的實施途徑.結合目前高中數學課堂的實際情況，根據“再創造”理論和發現學習理論，結合“最近發展區”理論，應選擇難度适宜的微型探究學習的内容進行探究。微型探究可以以自然課時為單位，一到兩個課時系統分析一個核心問題，解決原本探究中幾分鐘時間沒有效果、無有效引導和調控的一味讨論而浪費時間的弊病.一般來說，可以每個月安排一次，或者每學期系統開展三到五次。

數學名題給數學微型探究學習提供了良好的素材和思路來源。對于那些需要通過重複訓練才能達到的目标，數學曆史名題可以使這種枯燥乏味的過程變得富有趣味和探索意義，從而極大地調動學生的積極性.對于學生來說，曆史上的問題是真實的，因而更為有趣；曆史名題的提出一般來說都是非常自然的，它或者直接提供了相應數學内容的現實背景，或者揭示了實質性的數學思想方法，這對于學生理解數學内容和方法都是重要的。許多曆史名題的提出與解決與大數學家有關，讓學生感到自己正在探索一個曾經被大數學家探索過的問題，也會從學習中獲得成功的享受，這對于學生建立良好的情感體驗無疑是十分重要的。最後，曆史名題往往可以提供生動的人文背景，數學中有許多著名的反例，通常的教科書中很少會涉及它們.結合曆史介紹一些數學中的反例，可以從反面給學生以強烈的震撼，加深他們對相應問題的理解，通過對數學名題案例中問題的分析和自主探索，使學生有機會去理解數學概念、結論逐步形成的過程，理解蘊含其中的數學思想方法，領會數學的美學價值，從而有利于提高學生的文化素養，培養其創新意識.開發适合中學數學教學的與數學名題有關的微型探究案例，具有一定的實踐價值。

在解析幾何的教學中，筆者圍繞阿波羅尼圓開展了微型探究的嘗試。

案例3阿波羅尼圓

鍊接高考（2008江蘇-13)若AB=2，AC=BC，則的最大值 .

該小題為填空題的壓軸題之一，從實際解答的情況來看，許多學生感到無從下手，要确定三角形面積的最大值，一般考慮将三角形面積表達式作為目标函數處理，其中的運算是有相當難度的，許多學生知道了方法而過不了運算關。

探究1問題的突破口在哪裡？

解答1：三角形面積的變化是由C點的位置變化引起的，找到了C點的軌迹也就抓住了問題的本質。

因為AB=2(定長)，以AB所在的直線為x軸，其中垂線為y軸建立直角坐标系，則A(-1，0)，B(1，0)，設C(x，y)，由AC=BC可得

探究2如何想到這種思路方法？

解答1：源于課本。

細心的師生會發現這是一道地地道道的課本改編題。原題如下：

原題(蘇教版選修2-1第2章“圓錐曲線和方程”P57例2)求平面内到兩個定點A、B的距離之比等于2的動點M的軌迹方程。

至此，坐标化的思路一目了然，難怪許多人在評價試題時常講：過去是“考什麼教什麼”，而現在是典型的“教什麼考什麼”。

解答2：源于曆史。

課本上的例題和高考的試題都源于曆史上有名的阿波羅尼圓：平面内到兩個定點的距離之比為常數(大于0且不為1)的點的軌迹是圓，這個圓稱為阿波羅尼圓。問題的設計以數學曆史上的名題為基礎，體現了新課程中數學文化的重要基本理念，也顯示出數學文化在選拔性考試中獨特的“點石成金”的作用。

據統計，阿波羅尼圓在近十年高考中，出現在12道考題中，其魅力體現得淋漓盡緻。2009年的江蘇高考中的解析幾何問題，本質上也是阿波羅尼圓問題。熱考十年，是否山窮水盡呢？答案是否定的.2013年江蘇高考中，考生和阿波羅尼圓又不期而遇。

鍊接高考(2013江蘇-17) 如圖1，在平面直角坐标系xOy中，點A(0，3)，直線l:y=2x-4.設圓C的半徑為1，圓心在l上。

(1)若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程。

(2)若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐标a的取值範圍。

點M的軌迹就是師生所熟悉的阿波羅尼圓。

仔細回味一下，在解析幾何中的定點或者比值問題中，是否均有阿波羅尼圓的影子？許多學生對解析幾何的認識往往就是感覺運算很複雜。學生之所以想不到解析法，是因為他們對解析幾何的基本思想還不理解，比如他們過分淡化了運動觀點，淡化了平面幾何問題的解析法證明。然而，在似乎沒有解析幾何方法的地方，看出運用解析幾何，這才是真正掌握了解析幾何的基本思想方法，這與教師平時的教學應該有着千絲萬縷的聯系.解析幾何中用代數方法解決幾何問題是該模塊的核心思想方法，也是數學文化的内在範疇。

在新課程中，利用著名的數學問題創設情境或者梳理重要數學思想方法等，在目前的高考中已經多次出現，最典型的莫過于“四色原理”，高考中已經反複出現過其簡化的版本。

數學文化是新課程的基本理念，進行數學文化的教學，對提高學生的數學素養和數學能力作用巨大，對于教師的專業成長也有很大的推動作用。與教學文化相關的教學實踐和研究值得重視。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程标準(實驗)[M].人民教育出版社，2003.

[2]倉萬林.江蘇省數學高考第13題的探究[J].數學教學，2009,2.

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!