1、數學期望（均值）

數學期望給出了随機變量的平均大小。随機變量X的數學期望記為E(X), E(X)是X的算術平均的近似值, 數學期望表示了X的平均值大小。實驗中每次可能的結果的概率乘以其結果的總和。

• 離散型随機變量

• 連續型随機變量

2、方差

随機變量的取值在均值周圍的散布程度，X的方差記為

D(X)=E{[X-E(X)]^2}。

• 離散型

• 連續型

• 方差的算術平方根為X的标準差

• D(X) = E{[X-E(X)]^2} 經過化解可得 D(X) = E(X^2) – [E(X)]^2，一般計算的時候常用這個式子

3、協方差

對于二維的随機變量(X,Y)，還要讨論它們的相互關系。

因為E{ [X-E(X)][Y-E[Y]] } = E(XY) – E(X)E(Y)，又當X,Y相互獨立的時候E(XY) = E(X)E(Y)。這意味着若E{[X-E(X)][Y-E[Y]]} ≠ 0 ，則X與Y是存在一定關系的。

協方差可以反應兩個變量的協同關系， 變化趨勢是否一緻。同向還是方向變化。

Cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E[Y]]}

4、相關系數

相關系數是協發差的歸一化(normalization)， 消除了兩個變量量綱/變化幅度不同的影響。單純反映兩個變量在每單位變化的相似程度。

協方差在某種意義上是表示了兩個随機變量間的關系，但是Cov(X,Y)的取值大小與X,Y的量綱有關，不方便分析。為了消除量綱的影響，用X,Y的标準化随機變量來讨論，即将兩變量分别進行标準化(每個觀察值減去均數再除以其标準差)後再計算協方差，使之成為無單位的系數。

随機變量X與Y的相關系數：

記為(無量綱)

其中，以下符号為X,Y的協方差即Cov(X,Y)。D(X)，D(Y)分别是X,Y的方差且D(X)>0，D(Y)>0

注意：兩個不相關的随機變量，不一定相互獨立,有一特殊情況是,當随機變量X,Y服從二維正态分布的時候,獨立與不相關等價。

• 不相關隻能說明X與Y不存在線性關系。
• 獨立說明X與Y既不存在線性關系,也不存在非線性關系。

5、矩

矩(moment)是最廣泛的一種數字特征,常用的矩有兩種：原點矩和中心矩。

• 原點矩：

對于正整數k，稱随機變量X的k次幂的數學期望為X的k階原點矩：即 E(Xk) ,k=1,2,…n.

數學期望就是一階原點矩。

• 中心矩：

對于正整數k，稱随機變量X與E（X）差的k次幂的數學期望為X的k階中心矩：即 E{X-E[XK]},K=1,2,…n.

方差就是二階中心矩。

6、補充

• 均值，用E(x)表示，表示信号中直流分量的大小。
• 均值的平方，用{E(x)}^2表示，它表示的是信号中直流分量的功率。
• 均方值，用E(x^2)表示，表示信号平方後的均值。均方值表示信号的平均功率。
• 均方根值，即均方值的開根号
• 方差，描述信号的波動範圍，表示信号中交流分量的強弱，即交流信号的平均功率。
• 均方差，用MSE表示，是各數據偏離真實值的距離平方和的平均數
• 對于方差和标準差而言，它們反映的是數據序列與均值的關系。
• 對于均方差和均方根誤差而言，它們反映的是數據序列與真實值之間的關系。

1、均值函數

總集均值，一階原點矩函數過程的數學期望作為參數的函數，是其樣本函數在某時刻t的平均取值

2、均方值函數

反映了随機信号在總集意義下的瞬時功率（即某時刻樣本随機變量的平均功率）

3、方差函數

反映了随機信号在均值上下的起伏程度

4、自相關函數

表示随機信号在不同時刻取值的關聯程度

5、自協方差函數

描述随機信号在不同時刻值的起伏變化的相關程度，也稱為中心化的自相關函數

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