我經常聽到人們講，是因為觀察者通過光子和電子發生相互作用使光子的動量受到了影響，所以才導緻了海森堡不确定性原理。

觀察者必須通過影響電子的動量（或一些量子态）來觀察它，這或許是真的，但這不是導緻不确定性原理的真正原因！

在開始讨論這個話題之前，讓我們先定義海森堡不确定性原理(Heisenberg’s uncertainty principle)。

在量子力學中，存在一系列關于共轭物理量（如位置和動量）的不等式，它們限制了同時測量這些成對物理量的精度，這些不等式中的任意一個都可以被稱為不确定性原理（或是海森堡不确定性原理）。

-維基百科

一種常見的表述方式是，在任何給定的時間點，你都無法同時準确地測量粒子的動量和位置。

這種不确定性不取決于設備的好壞，也不是因為很難消除測量誤差。無論我們做得多好，我們都無法同時精确測量這兩個量（如動量和能量）…

首先，存在許多種不确定性原理，其中不少能在宏觀世界中看到。即使你沒有意識到它們的存在，但其實也一直在和這些現象打交道。

其次，海森堡不确定性原理背後與數學有着密切的關系。

所有波和物質（共轭變量）都必須遵從一系列的不确定性原理，真正導出這些原理的是一個數學事實（稍後詳述）。

音樂、雷達技術、能源技術和光也有必須遵守的“不确定性原理”，我們很快就會看到，是數學決定了這一切。

波

一切都可以歸結為非常簡單的事情。無論多複雜的的信号或函數，實際上都是正弦波的疊加。正弦波是具有特定波長和振幅的波。

疊加僅僅意味着所有的波相互作用，所有波的和（稱為幹涉）就是構成更複雜信号的疊加。

也就是說，我們可以将一個函數分解為組成它的更簡單的部分（正弦波）。這幾乎就是我們在計算傅裡葉級數的傅裡葉系數時所要做的一切。值得的一提的是，這個方法對于非周期函數同樣适用。

這種效果在音樂中是衆所周知的，例如，吉他生中的泛音會幹擾主波（弦的頻率）。也就是說，吉他的聲音（以及任何其他樂器，包括你的聲音）是由頻率和振幅不同的正弦波組成的。

當我們描述這樣一個複雜的信号時，我們有兩種等價的方式可以選擇。也就是說，我們可以選擇兩種不同的單位對它進行描述。

我們可以選擇用時間來描述産生幹涉圖樣的所有波是如何同時相互作用的，也可以選擇用構成幹涉圖樣的正弦波的頻率來描述它。

可以用兩種等效的方式來描述的事件被稱為雙重關系（dual relationship）。

如果我們可以找到一個數學工具來描述時間信号和頻率信号之間的雙重關系，那當然再好不過。事實上，我們确實找到了這樣的工具。

傅裡葉變換

我上面提到的描述這種雙重關系的工具叫做傅裡葉變換(Fourier transform)。毫無疑問，它是數學工具中最強大、最常用的工具之一。

在給出它的一些特性之前，我們先講一講這種傅裡葉變換的一些一般性質：

傅裡葉變換是一種積分變換（也就是一個算符），它拿到一個函數并返回另一個函數。

作為函數空間上的一個算符，我們可以把它看作是純數學的客體，但我們可以賦予它很好的物理解釋。在物理和數學領域，我們都可以使用它。

今天，我們主要将從物理學的角度來考慮它。

在下面的讨論中，我們假設積分始終收斂。

令

是一個可積函數。f的傅裡葉變換由以下積分給出：

如果f表示聲波随時間的變化，那麼f傅裡葉變換的結果表示構成聲波的頻率，因此f也可以看做是頻率的函數。

下面的動圖顯示了聲波（圖中是單位脈沖信号）是如何由許多正弦波組成的，正弦波的疊加産生了sinc函數，即

理解信号總是可以用兩種等效的表達方式是非常重要的。隻要給定其中一個，另一個是唯一确定的，我們有一個公式可以對它們進行計算。如何選擇僅僅取決于我們想用什麼方式表達一個信号。

唯一的傅立葉逆變換由以下公式得出：

傅裡葉變換的性質

傅裡葉變換不是一兩節課就可以講清楚的，我們隻能在本文中講點皮毛。然而，傅裡葉變換的一些令人驚奇的特性是一定要講的：

首先是平移的影響。假設

通過變量的變換，我們得到：

時間平移（信号延遲）會讓頻率函數産生一個相位移動。那變量的縮放會産生什麼影響呢？

假設

我們将分别從a<0和a>0進行讨論。

其中使用了代換u=at。讓我們看看當a<0時會發生什麼：

進一步我們得到表達式：

它的物理意義是什麼？

傅裡葉變換的标度特性意味着，如果我們在時間上壓縮信号，相當于在頻率空間（水平）上擴展信号，反之亦然。

我們很快就會發現，這一結果極其重要。

通過維度進行分析可以給我們提供一個更高層次和有啟發性的視角。時間以秒為單位衡量，頻率以1/s為單位進行衡量。似乎可以看出，如果把時間展寬變大，頻率展寬就會變小，反之亦然。

如果你不知道頻率的單位是從哪裡來的，我非常能理解你的疑惑。傅裡葉變換中的s最終決定了構成信号的正弦波的周期，你可以通過使用歐拉公式将複指數展開為正弦和餘弦，或者将傅裡葉變換視為一組連續的傅裡葉系數來感受這一點。

傅裡葉變換有很多炫酷的特性，但由于這不僅僅是一篇關于變換本身的文章，我們将不過多介紹這些特性，感興趣的讀者可以自己來探索這一點。

讀者可能會發現一個讓計算變簡便的特性，即傅裡葉變換将求導數轉換為乘以一個常數，這是一個有趣且具有實用價值的特性。這意味着一個空間中的微分方程對應于另一個空間中的代數方程。

因此，一些微分方程可以通過變換方程，用代數方法求解，然後将解變換回來（通過傅立葉逆變換）獲得原本方程的解。

波函數和海森堡不确定性原理

量子物理學家通過可能存在的量子态來描述量子系統（例如粒子）。

描述量子态的函數族被稱為波函數，以位置坐标為變量的波函數的模平方給出了粒子在空間中的概率分布。

因此，我們可以将波函數解釋為概率波，表示粒子位于給定空間區域的概率。因此，描述粒子位置的波函數應該被看作是空間中的波而不是時間中的波。

當我們對這個位置波（位置坐标為自變量的波函數）進行傅裡葉變換時，可以得到一個頻率（空間中的頻率）波，它是以粒子動量為自變量的波函數。

仔細想想并不奇怪，因為如果你認為光是波包或物質波，那麼動量将由光的頻率給出。

我們用

和

來表示這種關系。其中γ是波長，h是普朗克常數，p是動量，f是頻率，E是能量。

我們把一個粒子限制在越小的間隔内，位置波函數就越局域化（被水平擠壓）。由于動量波函數是位置波函數的傅裡葉變換，動量波函數将被水平拉伸，這意味着動量将有更大的不确定性。這是之前提到的傅裡葉變換的标度特性導緻的。

事實上，這就是海森堡的不确定性原理！這裡隻有傅裡葉變換起了作用：

其中h是普朗克常數，Δx和Δp分别是位置和動量的不确定性（标準差）。

普遍的不确定性

當函數g是函數f的傅裡葉變換時，我們稱f和g為共轭變量或共轭對。事實上，對于任何共轭函數對，都存在不确定性原理。

海森堡不确定性原理隻是共轭變量的特例。

從數學角度來看，為什麼共轭變量的不确定性原理成立？原因是：短信号，如聲音脈沖，需要許多頻率不同的正弦波的疊加才能實現，隻有許多特定頻率的正弦波的疊加才能保證在一定範圍之外波的振幅接近于0。相反，信号越像正弦波，描述信号所需的頻率就越少。

當你聽到很短的一段聲音時，你很難确定這段聲音包含哪些頻率；但如果你聽到一段持續時間很長的純淨信号，就能夠區分出不同的頻率。這也是不确定性原理。

同樣的，我們對雷達探測的目标的距離知道得越多，對接近或後退的速度就知道得越少，反之亦然。這是多普勒和距離的不确定性。

還有其它許多共轭變量，它們都遵循各自的不确定性原理，它們有一個共同點，那就是它們的成立都是有數學保證的！波的數學隻是限制了我們可以從某一量子态中獲取多少信息。

海森堡不确定性原理的影響真實存在

如果你把激光器對準狹縫，光屏會把部分光阻擋在外，對于穿透過去的一部分，接下來會發生神奇的事情。

光線似乎在狹縫後面的屏上擴散開來，如果你讓狹縫變得更窄，那麼光會彌散地更開。這似乎和我們的直覺不一緻？我們限制它的空間分布，它反而彌漫開來。

這個現象就是由海森堡不确定性原理導緻的。随着狹縫越來越窄，位置波（波函數）越來越局域化（窄），根據不确定性原理，動量波函數的展寬越來越大，這使得越來越多方向的運動成為可能。

由于動量是一個有方向的矢量，這意味着光子在狹縫另一側傳播時彌散的角度變得越來越大，從而在屏上産生了美麗的衍射圖樣。

不确定性還可以解釋為什麼太陽會發光，甚至可以解釋為什麼霍金輻射的時空現象會讓黑洞縮小。

我希望有一點明确：不确定性是一種純粹的數學現象，但由于量子系統讓這些數學理論照進現實，因此不确定性也可以被看成一種物理原理。

作者：Kasper Müller

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翻譯：Nothing

審校：zhenni

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翻譯内容僅代表作者觀點

不代表中科院物理所立場

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編輯：zhenni

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